Дифференциальные свойства дивергенци

В каждой точке М поля А показывает наличие источников или стоков поля:

4.4 Вычисление работы в силовом поле.

 

Линейный интеграл поля и свойства линейного интеграла. Циркуляция

 

 

 

 

 

В тех случаях, когда линейный интеграл поля a r берется по замкнутой кривой L, он называется циркуляцией поля a r по кривой L и обозначается так:

Вычисление линейного интеграла

 

 

4.5 Формула Стокса:

Понятие Ротора:

Физический смысл ротора: Таким образом, ротор поля линейных скоростей в любой точке равен удвоенному вектору угловой скорости. В произвольном поле его ротор, вычисленный в точке M, также характеризует вращательную способность поля в этой точке.

Инвариантное определение ротора:

Дифференциальные свойства ротора:

Условие независимости линейного интеграла поля от формы пути интегрирования

Ответ: Для того чтобы линейный интеграл поля не зависел от формы пути интегрирования, во-первых, необходимо и достаточно, чтобы циркуляция поля по любой замкнутой кривой равнялась нулю, во-вторых, необходимо, а для односвязного поля и достаточно, чтобы ротор поля в каждой точке равнялся нулю, в-третьих, необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было полным дифференциалом некоторой функции .

 

Потенциальное поле, отыскание скалярного потенциала. Соленоидальное поле,

Гармонические поля.

1)Векторное поле называется потенциальным (безвихревым полем), если в каждой его точке ротация равна нулю:

2) Скалярный потенциал векторного поля A {\displaystyle \mathbf {A} } А — это скалярная функция ϕ {\displaystyle \phi } Фи такая, что во всех точках области определения поля А=grad(фи) A = grad ϕ, {\displaystyle \mathbf {A} =\operatorname {grad} \,\phi,} Где grad(фи) grad ⁡ ϕ {\displaystyle \operatorname {grad} \phi } обозначает градиент ϕ {\displaystyle \phi } Фи.

 

Непрерывное векторное поле в односвязной области трёхмерного пространства потенциально тогда и только тогда, когда оно безвихревое, то-есть тогда,когда Ротор равен 0.

3)Векторное поле называется соленоидальным или вихревым, если через любую замкнутую поверхность S его поток равен нулю:

4) Гармоническим называется поле, для которого и ротор и дивергенция равны нулю.

∫ S a → ⋅ d s → = 0 {\displaystyle \int \limits _{S}{\vec {a}}\cdot {\vec {ds}}=0}

4.8. Повторные операции теории поля. Оператор Гамильтона Ñ. Запись основных

характеристик скалярного и векторного поля с помощью Ñ. Правила действия с Ñ

Повторные операции теории поля

Оператор Гамильтона Ñ.

Запись основных

характеристик скалярного и векторного поля с помощью Ñ.

Правила действия с Ñ