Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода

 

Случай 1. Пусть на плоскости дуга AB задана уравнением y = y (x), xÎ[a,b]. Будем предполагать, что функция y(x) непрерывна вместе со своей производной на [a,b].

 

Для вычисления криволинейного интеграла  по дуге АВ с уравнением y = y (x), xÎ[a,b] нужно:

 

Иногда удобнее использовать уравнение кривой в виде x = x(y), yÎ[c,d]. Тогда

 

Случай 2. Пусть на плоскости дуга AB задана параметрическими уравнениями

x = x (t), y = y (t), t Î[a,b],

причем функции x = x (t), y = y (t) непрерывны на [a,b] вместе со своими производными и x¢(t) ¹ 0.

 

Справедливы следующие формулы

 

Аналогично, для пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x (t), y = y (t), z = z (t), a £ t £ b, имеем

 

Вычисление двойного и тройного интеграла в прямоугольной и криволинейной системах координат.

Теорема. Если функция f (x, y) непрерывна в замкнутой ограниченной области (S) с кусочно-гладкой границей, то двойной интеграл существует.

· Вычисление двойного интеграла в прямоугольной СК

Двойной интеграл вычисляется сведением к повторному интегралу. Будем называть область (S) правильной в направлении оси Oy, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области параллельно оси Oy, пересекает границу области в двух точках (рис. 4.2, а); в противном случае — неправильная в на‑ правлении оси Oy (рис. 4.2, б).

Тогда объем тела, если он существует, равен

С другой стороны, объем тела равен

Следовательно, вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов:

Вычисление двойного интеграла в криволинейной СК

 

Пусть даны две замкнутые ограниченные области (S) в плоскости Oxy и (S`) в плоскости Ouv, границы которых — простые кусочно-гладкие кривые (рис. 4.8).

Пусть в области (S`) дана система непрерывных функций с непрерывными частными производными первого порядка  

4.1

которая каждой точке (u, v)О(Sў) ставит в соответствие единственную точку (x, y)О(S), причем различным точкам (u, v) соответствуют различные точки (x, y). Тогда система (4.1) однозначно разрешима относительно u и v:

4.2

т. е. установлено взаимно-однозначное соответствие между областями (S) и (S`)

Если якобиан  сохраняет постоянный знак в (Sў) за исключением, быть может, множества меры нуль, то справедлива формула

Переход к полярным -??? (хз надо или нет)

 

 

 

 

· Вычисление тройного интеграла в прямоугольной СК

Вычисление тройного интеграла в криволинейной системе координат

Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода.

 

Поверхностный интеграл 1-го рода не зависит от выбора стороны поверхности.

Скалярное поле

3.1 Скалярное поле – это область пространства, в которой задана скалярная функция f (x, y, z), называемая функцией поля.

Поверхность уровня – это множество точек поля, в которых функция поля f(x,y,z) принимает постоянное значение c, образуя поверхность с уравнением f(x,y,z)=c. Если скалярное поле плоское, например, находится в плоскости XOY, то его функция поля f (x, y) зависит от двух переменных x и y, а множество точек, в которых f (x, y) = c, образуют линию уровня.

(Определение) Линией уровня функции z = f (x, y) называется линия f (x,y)=c на плоскости XOY, в точках которой функция сохраняет свое постоянное значение (z=c).

 

(Вывод) Понятие производной поля по направлению вводят для характеристики скорости изменения поля f (x, y, z) в направлениивектора . Пусть задана точка M и вектор l, выходящий из точки M (рис. 53). Рассмотрим точку M ₁, лежащую на векторе l, и величину  – приращение функции поля f (M) в точке M в направлении вектора l.