Производная поля по направлению

(Определение) Производной поля f (M) в точке M в направлении вектора l называют величину 

Свойства производной по направлению

 1). Скорость изменения функции f (M) в точке M в направлении вектора l равна   2). Поле f (M) в точке M в направлении l возрастает тогда и только тогда, когда  3). Поле f (M) в точке M в направлении l убывает тогда и только тогда, когда     4). Если вектор l || ox, то ; если вектор

 

3.3. Градиент скалярного поля: его свойства, инвариантное определение.

инвариантное определение градиента

Градиент скалярного поля f (M) в точке M0 есть вектор, который

а) по величине равен наибольшей скорости возрастания поля f (M) в точке M0,

б) направлен по нормали к поверхности уровня поля f (M), проходящей через точку M0, в сторону наибольшего возрастания поля

 

Векторное поле

4.1 Векторное поле – это область пространства, в каждой точке M которой задан вектор (M).

Примеры векторных полей:

1) Пусть на материальную точку в области D действует сила (M). Тогда в области D определено векторное поле ((M).

2) Пусть в области D происходит течение жидкости и в каждой точке M задан вектор (M) скорости частицы жидкости. Тогда в области D определено векторное поле скоростей жидкости

3) Поместим заряд + q в начало координат. Тогда сила, с которой этот заряд действует на единичный положительный заряд, помещенный в точку M, определяется по закону Кулона: , где r r – вектор, идущий из начала координат в точку M (радиус-вектор точки M), r – его длина. Имеем векторное поле напряженностей (M), создаваемое зарядом q.

 

 

Векторные линии: (характеристика векторного поля)

Векторной линией векторного поля называют линию, в каждой точке которой касательный вектор коллинеарен вектору поля.

Выведем уравнения векторных линий для поля

 

Пусть уравнения векторной линии x=x(t), y=y(t), z=z(t),(t - параметр). Касательным вектором этой линии является вектор  и вектор

.

По определению векторной линии ее касательный вектор  и вектор поля

 коллинеарны. Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т. е.

 

                                 

Мы получили систему дифференциальных уравнений для отыскания векторных линий поля .

 

  

Поток поля через ориентированную поверхность: различные формы записи, способы

Вычисления.

Ориентированная поверхность – это поверхность, в каждой точке которой выбрано направление нормали с помощью единичного вектора n(М), где n(M) является непрерывной вектор-функцией точки М.

Поток векторного поля

Потоком векторного поля a через ориентировочную поверхность () с единичным нормальным вектором n называют величину:

Записи:

1)  – векторная форма записи

2)  - векторная форма записи

3)  – координатная форма записи

Вычисление:

1) По формуле

2) Методом проектирования на 3 плоскости

=

а) в подынтегральной функции заменить x его значением x=x(y,z) на поверхности

б) учесть, что d (yz)=Пр (yoz) d   и поэтому d (yz)=

в) вычислить получившийся двойной интеграл по проекции

Другие вычисляются аналогично

3) Методом проектирования на одну плоскость

Воспользуемся параметрическим уравнением поверхности :

Нормальный вектор поверхности:

Элемент площади  :

4.3  . Формула Остроградского и понятие дивергенции. Инвариантное определение дивергенции, ее свойства.

Формула Остроградского

 Поток векторного поля через замкнутую поверхность (s) удобно вычислять по формуле Остроградского с помощью дивергенции div a поля a = {P, Q, R}

                       

В этой формуле () V – тело, ограниченное замкнутой поверхностью (s); поверхность (s) ориентирована внешней нормалью; функции P, Q, R непрерывны вместе со своими частными производными.

Запишем формулу Остроградского в координатной форме

Понятие дивергенции

Дивергенция – это дифференциальная и локальная (зависит от точки) количественная характеристика векторного поля. Пусть вектор-функция имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным

 

Мы получили инвариантное (т.е. независящее от системы координат) определение дивергенции.