Закон полного тока с учетом тока смещения

Под законом полного тока понимают утверждение

                                                                                           .                                                        (1)

Согласно предположению Максвела в теоремы о циркуляции векторов  или  должен входить полный ток, охватываемый произвольным контуром Г. Т.е. полагаем

                                                                                    (2)

Получили

                                                                              .                                                               (3)

Это уравнение есть закон полного тока в трактовке Максвела. Из него следует, что переменное электрическое поле всегда порождает переменное магнитное поле.

Система уравнений Максвелла в интегральной форме

Согласно Максвелу переменные электрические и магнитные поля взаимосвязаны(одно переменное поле порождает другое) и удовлетворяют следующей системе уравнений.

                                                                                (1)

Эти уравнения дополняются выражением для силы Лоренца, описывающей дви­жение свободных зарядов в электрических и магнитных полях

                                                               .                                                   (2)

Если поля стационарны ( и ), то уравнения (1) принимают вид

                                                                                                      (3)

Из этих уравнений следует, что стационарные электрические и магнитные поля в отличие от переменных полей могут существовать раздельно.

Уравнения Максвелла являются постулатами (аксиомами) современной тео­рии электромагнетизма. Их нельзя доказать. Можно указать лишь логическиe посылки, приводящие к этим уравнениям.

Систему уравнений Максвела можно дополнить граничными условиями, для векторов , , , , которые для границы раздела двух сред, на которой нет свободных зарядов и токов проводимости, имеют вид

                                                         ,                                              (4)

где индекс n означает нормальную составляющую поля, а τ — тангенциальную или касательную к границе раздела.

Уравнения Максвела не содержат никаких предположений о свойствах среды, в которой существует электромагнитное поле. Свойства среды учитываются с помощью уравнений, которые называют материальными

                                                   .                                        (5)

где ε и μ — электрическая и магнитная проницаемости среды, ε ₀ и μ ₀ — электрическая и магнитная постоянные, γ — проводимость среды.

Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Переход к дифференциальной форме осуществляется с помощью теоремы Остроградского–Гаусcа

 

                                        где                                     (1)
и теоремы Стокса

                                       где .                                   (2)
где — произвольный вектор, а  (набла) – дифференциальный оператор, равный

                                                .                                             (3)

 

 

Используя эти теоремы, получим

                                                         (4)

Из последних частей этих равенств получим

                                                                                                           (5)

Это уравнения Максвела в дифференциальной форме. Если среда диэлектрическая или вакуум (в такой среде нет свободных зарядов ρ =0 и токов проводимости ), то система уравнений (5) принимает вид

                                                                                                               (6)

Волновое уравнение

Запишем уравнения (6) через векторы  и . С учетом`  получим

                                                                                                       (1)

Умножим обе части левых уравнений (1) векторно на оператор . Получим

                                                           (2)

С учетом формулы векторного анализа «бац минус цаб» преобразуем векторные произведения в формулах (2)

                                                                                               (3)

 

 

и получим

                                                                             (4)

где учтено, что согласно (1) и введен оператор D (дельта)

                                                                                         (5)

С учетом (3) и (4) уравнения (2) можно записать в виде

                                          ,                                          (6)

где

                                                                                                     (7)

Величина

                                                                                                 (8)

называется электродинамической постоянной. Она совпадает со скоростью света в вакууме.

 

Уравнение вида

                                                                                                                 (9)

называется волновым уравнением. Параметр v в этом уравнении есть скорость распространения волны. Функция f = f (x, y, z, t), входящая в волновое уравнение, называется уравнением волны или волновой функцией.

Согласно волновым уравнениям (6) возможно существование электрической и магнитной волн в свободном пространстве с диэлектрической и магнитной проницаемостями ε и μ, и в частности в вакууме, где ε =1 и μ =1. Однако поля  и  в этих волнах не являются независимыми, а связаны уравнениями Максвелла, поэтому в природе существуют только электромагнитные волны, в которых изменяющееся электрическое поле  порождает изменяющееся во времени магнитное поле , и наоборот. Можно показать, что ЭМ-волны являются поперечными, т.е. векторы  и  в ЭМ-волне перпендикулярны направлению распространения волны.