Угловая и линейная дисперсия. Разрешающая способность

Любой спектральный прибор осуществляет разложения излучения на монохроматические составляющие путем их пространственного разделения с помощью диспергирующего элемента(призмы, дифракционной решетки и т.д.) Чтобы извлечь необходимую информацию из наблюдаемых спектров, прибор должен давать хорошее пространственное разделение спектральных линий, а также обеспечивать возможность раздельного наблюдения близких спектральных линий.

В связи с этим для характеристики качества спектрального прибора вводят следующие величины: угловую D_φ =d φ /d λ или линейную D_l =d l /d λ дисперсии прибора и его разрешающую способность (разрешающую силу) R = λ /Δ λ, где Δ λ — минимальная разность длин волн спектральных линии, которые прибор позволяет видеть раздольно. Чем меньше разность Δ λ, «видимая» прибором, тем выше его разрешающая способность R.

Угловая дисперсия D_φ определяет угол Δ φ = D_φ Δ λ, на который разводит прибор две спектральные линии, длины волн которых отличаются на единицу (например, в оптике полагают Δ λ =1 нм). Линейная дисперсия D_l определяет расстояние Δ l = D_l Δ λ между спектральными линиями на экране, длины волн которых отличаются на единицу (Δ λ =1 нм). Чем выше значения D_φ  и D_l, тем выше способность спектрального прибора к пространственному разделению спектральных линий.

Конкретные выражения для дисперсий прибора D_φ  и D_l и его разрешающей способности R зависят от типа прибора, используемого для регистрации спектров излучения различных источников. В данном курсе вопрос о вычислении спектральных характеристик прибора будет рассмотрен на примере дифракционной решетки.

 

Выражение для угловой дисперсии дифракционной решетки можно найти дифференцируя условие главных максимумов  по λ. Получим , откуда

                                                .                                            (1)

Вместо угловой дисперсии можно использовать линейную

                                             .                                          (2)

Учитывая, что положение спектральной линии, отсчитываемое от центра дифракционной картины равно l = F tg φ, где F — фокусное расстояние линзы в фокальной плоскости которой регистрируется спектр, получим

                             , что дает                          (3)

Большая угловая дисперсия является необходимым, но недостаточным условием раздельного наблюдения близких спектральных линий. Это объ­ясняется тем, что спектральные линии имеют ширину. Любой детектор (в том числе и глаз) регистрирует огибающую спектральных линий, кото­рые в зависимости от их ширины могут восприниматься либо как одна, либо как две спектральные линии.

В связи с этим вводится дополнительная характеристика спектрального прибора —его разрешающая способность: R = λ /Δ λ, где Δ λ — минимальная разность длин волн спектральных линий, которые прибор позволяет видеть раздельно.

Чтобы получить конкретное выражение для R для данного прибора, необходимо задаться критерием разрешения. Известно, что глаз воспринимает две линии раздельно, если глубина «провала» в огибающей спектральных линий составляет не менее 20% от интенсивности в максимумах спектральных линий. Этому условию удовлетворяет критерий, предложенный Рэллеем: две спектральные линии одинаковой интенсивности можно наблюдать раздельно, если максимум одной из них совпадает с «краем» другой. За «края» линии можно принять положение ближайших к ней побочных минимумов.

На рис. изображены две спектральные линии, соответствующе излучениям с длиной волны λ ₁< λ ₂.

Совпадение «края» одной линии с максимумом другой эквивалентно одинаковому угловому положению φ, например, максимума, левой линии, соответствующей длине волны l ₁, и левого «края» линии, соответствующей длине волны λ ₂.

Положение k -го максимума спектральной линии с длиной волны l ₁ определяется условием

                                                                                                                   (1)

Положение левого «края» линии с длиной волны λ ₂ определяется угловым положением ее первого левого побочного минимума (р =−1)

                                                    .                                                 (2)

Приравнивая правые части формул (1) и (2), получим

                                                 , или ,                                (3)

откуда

                                                  .                                              (4)

Получили, что разрешающая способность R = kN дифракционной решетки увеличивается с увеличением числа N штрихов на решетке, а при фиксированном N с увеличением порядка k спектра.

Глава 5. Тепловое излучение