Понятие о рядах динамики и их виды

РЯДЫ ДИНАМИКИ

Понятие о рядах динамики и их виды

Одна из важнейших задач – изучение явлений во времени. Эта задача решается при помощи построения и анализа рядов динамики.

Рядами динамики (временными, хронологическими) называются ряды величин, характеризующие изменение явлений во времени.

Ряды динамики состоят из двух элементов:

1) уровней, характеризующих величину изучаемого признака, (у);

2) периодов (моментов), к которым относятся уровни, (t).

Виды рядов динамики

1. По времени, отражаемому в рядах динамики, они подразделяются на моментные и интервальные.

Моментным называется ряд, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные моменты времени (даты).

Интервальным называется ряд, уровни которого характеризуют размер явления за тот или иной период (месяц, год и т.д.).

2. По полноте времени, отражаемому в рядах динамики, они подразделяются на полные и неполные.

В полных рядах периоды или временные интервалы между датами равны, в неполных – не равны.

3. По способу выражения уровней ряды динамики могут быть рядами абсолютных, относительных и средних величин.

Обобщенной характеристикой ряда динамики является средний уровень ряда . Способ расчета  зависит от того, моментный ряд или интервальный (см. рис.3):

 

 

Ряд динамики

Интервальный (уровни равномерного ряда – это накопленный результат за определенный интервал времени)

Моментный (уровни ряда – это величины, характеризующие явление на определенную дату)

Средняя арифметическая простая:   =

Если промежутки между датами неравные – средняя хронологическая взвешенная:

Если промежутки между датами равные – средняя хронологическая простая:

 

Рис. Методы расчета среднего уровня ряда динамики

 

Средние показатели динамики

Для обобщающей характеристики показателей ряда динамики рассчитываются их средние значения: средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.

1. Средний абсолютный прирост:

                                (12)или ,    (13)

где  – первый уровень ряда динамики;

  – конечный уровень ряда динамики;

  n – число уровней.

2. Средний темп роста:

а) простая средняя(для полных рядов):

(14) или   ,    (15)

где – цепные темпы роста за каждый период, выраженные в коэффициентах;

     n – число уровней.

б) взвешенная средняя(для неполных рядов):

                 ,                          (16)                                              

где – средний темп роста за i -ый период;

– i- ый период.

3. Средний темп прироста:

                                                  %.                                            (17)

Пример 3. Определим средние показатели ряда динамики по данным таблицы 2.

1. Средний абсолютный прирост:

  тыс. т, или   тыс. т.

В среднем объем продукции увеличивался ежегодно на 2,5 тыс. т.

2. Средний темп роста:

, или 102 %;

, или 102%.

Средний темп роста объема продукции за рассматриваемый период составил 102%.

3. Средний темп прироста:

%.

В среднем объем продукции ежегодно увеличивался на 2%.

 

Рассмотрим пример определения средневзвешенного темпа роста.

Пример 4. Средний темп роста производства продукции на предприятии составил: за первые пять лет – 120%, за следующие 2 года – 117 %, за следующие три года – 125%. Необходимо определить средний темп роста за весь период.

Дано: ; ;

       ; ;

        ; .

Решение:

Средний темп роста за весь период:

, или 120,9%.

Средний темп роста за весь период составил 120,9%.

Интервальные ряды

1. Полные.Для полных интервальных рядов средний уровень определяется по формуле простой средней арифметической:                             

                                               .                                                        (18)

2. Неполные.Для неполных интервальных рядов средний уровень определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

                                           ,                                                         (19)

 

где t _i – периоды, к которым относятся уровни ряда динамики.

Моментные ряды

1. Полные.Для полных моментных рядов средний уровень рассчитывается по формуле, которая получила название простой средней хронологической:

             ,                   (20)

где n – число уровней ряда.

Пример 5. Рассчитаем средний уровень для полного моментного ряда по данным таблицы 3.

Таблица 3. Исходные данные

Дата	Численность работников предприятия, Чел.
1.01.17	600
1.02.17	620
1.03.17	616
1.04.17	624

Средний уровень ряда:

  чел.

Средняя численность работников в первом квартале составила 616 человек.

2. Неполные.Для неполных рядов средний уровень рассчитывается по формуле средней хронологической взвешенной:

 ,       (21)

где – интервалы времени между смежными датами.

 

Пример 6. Рассчитаем средний уровень для неполного моментного ряда по данным таблицы 4.

Таблица 4. Исходные данные

Дата	Оборотные средства, млн. руб.
1.01.16	420
1.03.16	500
1.06.16	480
1.09.16	460
1.01.17	520

Средний уровень ряда:

млн. руб.

Среднегодовая стоимость оборотных средств составила 480 млн. руб.

Метод укрупнения интервалов

Метод укрупнения интервалов заключается в определении итоговых или средних показателей для укрупненных интервалов времени. Например, наблюдается колеблемость показателей производства продукции по годам. Для выявления общей тенденции переходят к ряду средних по пятилетиям или иным периодам.

Пример 7. Рассмотрим пример выравнивания ряда динамики методом укрупнения интервалов по данным таблицы 5.

Таблица 5. Выравнивание ряда динамики методом укрупнения интервалов

Год	Объем продукции, млн. т y	Сумма за пять лет	Средняя по пятилетиям
1996	25
1997	23
1998	22	100	20,0
1999	18
2000	12
2001	16
2002	22
2003	18	111	22,2
2004	27
2005	28
2006	24
2007	29
2008	27	139	27,8
2009	29
2010	30

Определим средние значения объема продукции по пятилетиям:

;

 млн. т;

 млн. т;

 млн. т.

Средние значения объема продукции по пятилетиям составили: 20,0 млн. т, 22,2 млн. т и 27,8 млн. т. Таким образом, наблюдается тенденция роста объема продукции.

Метод скользящей средней

Для выравнивания ряда динамики методом скользящей средней:

1) определяют скользящие суммы путем последовательного сдвига на один период суммируемых уровней;

2) скользящие суммы делят на период скольжения  и получают скользящие средние, которые относят к середине периода скольжения.

Период скольжения – это период, для которого определяются скользящие средние.

Сглаживание ряда динамики проще производить, если период скольжения составляет нечетное число лет (месяцев, дней).

Если период скольжения состоит из четного числа лет, для сглаживания ряда применяют приём, называемый центрированием. Суть его в том, что для каждой пары сглаженных средних рассчитывается средняя арифметическая, которая относится к определенной временной точке, так как средняя, рассчитанная для четного числа уровней, попадает между двумя временными точками (периодами).

Ряд динамики, выравненный методом скользящей средней, имеет (n – l + 1) уровней, где n – число исходных уровней; l – период скольжения. Недостатком данного метода является то, что сглаженный ряд становится короче по сравнению с фактическим на (l – 1) уровень, что затрудняет изучение характера выявленной тенденции в начале и в конце рассматриваемого периода. Тем не менее скользящая средняя позволяет выявить общую тенденцию в развитии явления.

Пример 7. Рассмотрим пример выравнивания ряда динамики методом скользящей средней по данным таблицы 6. Период скольжения принят равным пяти годам.

Таблица 6. Выравнивание ряда динамики методом скользящей средней

Год	Объем продукции, млн. т	Скользящая сумма  по пятилетиям, т	Средняя скользящая по пятилетиям, т
2002	22	-	-
2003	18	-	-
2004	27	119	23,8
2005	28	126	25,2
2006	24	135	27,0
2007	29	137	27,4
2008	27	139	27,8
2009	29	-	-
2010	30	-	-

 

Скользящие суммы определены путем последовательно сдвига суммируемых уровней на один период. Сначала суммируются данные за первые пять лет (с 2002 по 2006 гг.), затем суммируется данные за пять лет с 2003 и по 2007 гг. и т.д.

1.

       2.   и т.д.

Скользящие суммы приведены в третьей графе таблицы 6.

Скользящие средние рассчитаны по формуле: , где  l = 5, иприведены в графе 4 таблицы 6. Скользящие средние показывают тенденцию роста объема продукции.

Выбор формы тренда

Выбор формы тренда производится:

1) на основе графического изображения эмпирического ряда динамики;

2) на основе анализа цепных абсолютных приростов и цепных темпов прироста. Так, например:

1. Выравнивание ряда по прямой применяется в тех случаях, когда цепные абсолютные приросты более или менее постоянны, то есть когда уровни ряда изменяются приблизительно в арифметической прогрессии.

2. Выравнивание по параболе 2-го порядка производится в тех случаях, когда цепные абсолютные приросты более или менее равномерно увеличиваются или уменьшаются, то есть когда наблюдается ускоренное или замедленное изменение уровней ряда.

3. Выравнивание по показательной функции производится в тех случаях, когда цепные темпы прироста более или менее постоянны, то есть когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии.

Пример.

 

 

Пример Определите средний уровень условного ряда динамики

(Таблица), если ряд: а) неполный интервальный;

б) неполный моментный (уровни даны на начало каждого месяца).

 

 

 

 

Пример. По данным об объеме производства продукции предприятия (Таблица) рассчитать все возможные аналитические и средние показатели ряда динамики.

Таким образом, на протяжении шести месяцев динамика объема производства была нестабильной. Об этом свидетельствуют, например, различные значения цепных абсолютных приростов. В среднем ежемесячный прирост составлял 0,14 т. или 2,6%. Наглядно динамику объема производства продукции на предприятии можно увидеть на гистограмме (Рис.).

 

РЯДЫ ДИНАМИКИ

Понятие о рядах динамики и их виды

Одна из важнейших задач – изучение явлений во времени. Эта задача решается при помощи построения и анализа рядов динамики.

Рядами динамики (временными, хронологическими) называются ряды величин, характеризующие изменение явлений во времени.

Ряды динамики состоят из двух элементов:

1) уровней, характеризующих величину изучаемого признака, (у);

2) периодов (моментов), к которым относятся уровни, (t).

Виды рядов динамики

1. По времени, отражаемому в рядах динамики, они подразделяются на моментные и интервальные.

Моментным называется ряд, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные моменты времени (даты).

Интервальным называется ряд, уровни которого характеризуют размер явления за тот или иной период (месяц, год и т.д.).

2. По полноте времени, отражаемому в рядах динамики, они подразделяются на полные и неполные.

В полных рядах периоды или временные интервалы между датами равны, в неполных – не равны.

3. По способу выражения уровней ряды динамики могут быть рядами абсолютных, относительных и средних величин.

Обобщенной характеристикой ряда динамики является средний уровень ряда . Способ расчета  зависит от того, моментный ряд или интервальный (см. рис.3):

 

 

Ряд динамики

Интервальный (уровни равномерного ряда – это накопленный результат за определенный интервал времени)

Моментный (уровни ряда – это величины, характеризующие явление на определенную дату)

Средняя арифметическая простая:   =

Если промежутки между датами неравные – средняя хронологическая взвешенная:

Если промежутки между датами равные – средняя хронологическая простая:

 

Рис. Методы расчета среднего уровня ряда динамики