Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

Рассмотрим случай сложения вращения вокруг двух пересекающихся осей. Когда абсолютное движение тела является результатом относительного и переносного вращений с угловыми скоростями w ₁ и w ₂ вокруг осей Оа и О b, пересекающихся в точке О, то скорость точки О, очевидно равна нулю.

 

 

Следовательно, результирующие движения тела является движением вокруг неподвижной точки О и для каждого элементарного промежутка времени представляет собой элементарный поворот с угловой скоростью w вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О.

Cкорость в относительном движении вокруг оси О а точки М

Cкорость в переносном же движении вокруг оси О b точки М

Следовательно, абсолютная скорость точки М равна

 

Следовательно, при сложном вращении вокруг двух осей, пересекающихся в точке О, результирующие движение будет мгновенным вращением вокруг оси Ос, проходящей через точку О, причем угловая скорость w этого вращения равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей.

 

С течением времени ось Ос меняет свое положение, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

 

Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в точке О, то результирующие движение является мгновенным вращением вокруг оси, проходящей через точку О, а угловая скорость этого движения

 

Сложение поступательного и

Вращательного движений

 

1. Скорость поступательного движения перпендикулярно к оси вращения ().

Пусть сложное движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси А а с угловой скоростью w и поступательного движения со скоростью .

 

Если считать точку А полюсом, то рассматриваемое движение, как и всякое плоскопараллельное, будет действительно слагаться из поступательного со скоростью V_A = V, т.е со скоростью полюса и вращательного вокруг оси Аа, проходящей через полюс.

Вектор V можно заменить парой угловых скоростей  (пара вращений), беря , а . При этом расстояние АР найдется из равенства

Векторы дают при сложении нуль, и мы получаем, что движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси Рр с угловой скоростью . Точка Р для сечения (S) тела является МЦС ().

 

Поворот тела вокруг осей Аа и Рр происходит с одной и той же угловой скоростью , т.е. вращательная часть движения не зависит от выбора полюса.

 

2. Винтовое движение ().

 

Сложное движение слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоростью  и поступательного со скоростью V, направленной параллельно оси Аа. Такое движение называется винтовым.

Ось Аа называется осью винта.

 

Когда векторы   направлены в одну сторону, то винт будет правым; если в разные стороны – левым.

 

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точки, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т, получим

 

 

 

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся от оси винта на расстоянии r, складывается из поступательной скорости V_e = V и перпендикулярной к ней скорости , получаемой во вращательном движении. Следовательно

 

Направлена скорость V_M по касательной к винтовой линии.

 

 

3. Скорость поступательного движения
образует произвольный угол с осью вращения.

 

Сложное движение, совершаемое телом в этом случае, представляет собой общий случай движения свободного твердого тела.

 

Разложим вектор V на составляющие:

 

1) , направленную вдоль .

 

2) , перпендикулярную к .

 

Скорость можно заменить парой угловых скоростей беря , а , после чего векторы беря и  можно отбросить. расстояние АС найдем по формуле:

 

.

 

Тогда у тела остается вращение с угловой скоростью  и поступательное движение со скоростью . Следовательно, распределение скоростей точек тела в данный момент времени будет таким же, как при винтовом движении вокруг оси Сс с угловой скоростью   и поступательной .

 

Проделанными операциями мы перешли от полюса А к полюсу С. Результат показывает, что в общем случае движения угловая скорость тела при перемене полюса не изменяется (), а меняется только поступательная скорость ().

 

Поскольку при движении свободного твердого тела величины  будут все время меняться и положение оси Сс, которую поэтому называют мгновенной винтовой осью.