Теорема О сложении ускорений

(теорема Кориолиса):

В случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений:

 

 

 

 и т.д.

 

Слагаемые выражения, определяющего ускорения:

 

1) ускорение полюса О

 

 

2) переносное ускорение

вращательное ускорение

осестремительное ускорение

Ускорение точки в переносном движении: 

 

3) относительное ускорение точки:

4) Кориолисово ускорение

 

Получаем:

или

 

Кориолисово ускорение характеризует:

1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения;

2) изменение направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения.

 

Модуль ускорения Кориолиса:

 

а_к = 2×|w _e × V_r |sin(w _e ^ V_r)

Направление кориолисова ускорения определяется двумя правилами:

 

Правило векторного произведения

Согласно этому правилу вектор кориолисова ускорения перпендикулярен векторам ω _e и V_r (или плоскости, проходящей через эти вектора, проведенные из одной точки). Направлен вектор a_к так, что если смотреть ему навстречу, то кратчайший поворот вектора ω _e до совмещения с вектором V_r происходит против хода часовой стрелки.

 

2) Правилу Жуковского: для определения направления кориолисова ускорения нужно спроецировать вектор относительной скорости в плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости и полученную проекцию повернуть в сторону переносного вращения

Кориолисово ускорение равно нулю в трех случаях:

1) w _e =0, т.е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения угловой скорости в 0;

2) V_r =0;

3) sin(w _e ^{^} V_r)=0, т.е. Ð(w _e ^{^} V_r)=0, когда относительная скорость V_r параллельна оси переносного вращения.

 

 

В случае движения в одной плоскости – угол между V_r и вектором w _e = 90^о, sin 90 ^o =1, а_к =2 × w _e × V_r.

 

 

ЗАДАЧА НА СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ

 

Решение задачи

 

 

Определение абсолютного ускорения точки

 

Согласно теореме о сложении ускорений (теорема Кориолиса), абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений

 

 

                             

СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

 

Сферическим движением твердого тела называют такое движение, при котором одна точка тела остается все время неподвижной. Очевидно, траектории всех точек тела при таком движении располагаются на поверхностях сфер.

Для определения положения тела с неподвижной точкой O в каждый момент времени свяжем две системы координат: неподвижную Ox₁y₁z₁ и подвижную Oxyz, жестко связанную с телом, вращающимся вокруг точки O.

 

 

 

Положение подвижной системы координат относительно неподвижной однозначно определяется тремя углами, называемыми углами Эйлера:

ψ — угол прецессии,

θ — угол нутации

φ — угол собственного вращения.

 

Линия пересечения подвижной плоскости xOy с неподвижной x₁Oy₁ называется линией узлов OK.

 

  Угол прецессии определяет положение линии узлов на неподвижной плоскости x₁Oy₁. Для изменения этого угла тело должно вращаться вокруг оси Oz₁, которую называют осью прецессии.

 

Угол нутации θ — это угол между осями Oz1 и Oz. При изменении угла происходит поворот тела вокруг линии узлов, которую также называют осью нутации.

 

Угол собственного вращения φ — это угол между линией узлов и подвижной осью Ox. При изменении угла φ тело вращается вокруг оси Oz (оси собственного вращения).

 

Для определения положения тела с одной неподвижной точкой в любой момент времени необходимо задать углы Эйлера как функции времени, т.е. уравнениями вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

 

ψ = ψ(t),

θ = θ(t),

φ = φ(t).

 

Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, из одного положения в любое другое можно перевести одним поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку (теорема Эйлера-Даламбера).

 

Эту ось называют осью конечного вращения.

 

Ось, вокруг которой следует вращать тело, имеющее одну неподвижную точку, для перевода его из одного положения в другое, бесконечно близкое первому, называют мгновенной осью вращения (или мгновенной осью) для данного момента времени.

 

Мгновенная ось представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент равны нулю.

 

Для того, чтобы определить положение мгновенной оси, достаточно найти какую-либо точку C твердого тела, скорость которой в данный момент равна нулю.

 

Тогда прямая, проходящая через точку C и неподвижную точку O, будет мгновенной осью вращения тела. 

 

 

УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ

 

Угловой скоростью называют векторную величину, характеризующую быстроту вращения твердого тела, определяемую как приращение угла поворота тела за промежуток времени.

 

Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени Δt → 0, за который твердое тело совершает поворот на бесконечно малый угол Δα вокруг мгновенной оси Ω (рисунок).

 

 

Предел, к которому стремится отношение

Δα / Δt, называется угловой скоростью твердого тела в рассматриваемый момент времени

 

Угловая скорость является векторной величиной. Вектор угловой скорости ω может быть приложен к любой точке мгновенной оси и направлен в каждый момент времени по мгновенной оси Ω, так, чтобы смотря навстречу этому вектору, видеть вращение тела происходящим против движения часовой стрелки.