Нормальный закон распределения

 

Параметрами нормального закона распределения являются математическое ожидание M и D дисперсия. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому удобнее пользоваться другой величиной – среднеквадратическим отклонением:

 

σ =

 

Функция normrnd(M,SIGMA, m, n) предназначена для генерации матрицы m x n псевдослучайных  чисел по нормальному закону для M (математического ожидания) и SIGMA (среднеквадратического отклонения). Скалярный параметр n задает длину выборки.

Зададим 100 значений параметра x (вектор 1 х 100), имеющим нормальный закон распределения с математическим ожиданием M =0  и среднеквадратическим отклонением σ =1

 

y=normrnd(0, 1, 1, 100);

 

Для построения гистограммы по сгенерированным данным расcчитаем центры 20 интервалов в диапазоне от -3 до 3:

 

x=zeros(1, 20);

d=(3-(-3))/38;

 

Ширина интервала 2* d.

 

for i=1:20

x(i)=-3+ 2*d*(i-1);

end

 

Построим гистограмму значений y, попавших в интервалы x.

 

    hist(y, x)

 

Запомним значения гистограммы

 

    y1=hist(y, x);

 

y 1 - высота столбцов гистограммы.

Значения графика плотности эмпирического закона определим из условия (площади под графиком эмпирической плотности распределения должна равняться 1):

 

1

 

Тогда

 

    y11=y1./ (2*d*100);

 

Посчитаем теоретические значения нормального закона распределения для значений x:

 

    y0=normpdf(x, 0, 1);

 

Сравним графики теоретического и экспериментального законов плотности распределения:

 

    plot(x, y11,'-g', x, y0, '-r')

 

    Определим среднее значение для эмпирического распределения:

        

m=sum(x.*y1)/100

 

Математическое ожидание теоретического распределения равно нулю. Неувязка указывает на недостаточное количество сгенерированных данных.

 

Среднеквадратическое отклонение:

 

sx=0

    for i=1:20

    sx= sx+(m-x(i))^2*y1(i);

    end

    sigma= sqrt(sx/100)

 

Теоретическое значение среднеквадратического отклонения 1.

 

Рассмотрим три закона нормального распределения с математическими ожиданиями -2,  0, 2 и среднеквадратичным отклонением, равным 1.

 

 

Создадим массив для данных:

 

    z1=zeros(1,100);

z2=zeros(1,100);

z3=zeros(1,100);

w1=zeros(1,11);

w2=zeros(1,11);

w3=zeros(1,11);

 

Заполним массивы случайными числами, распределенными по нормальному закону:

 

    z1=normrnd(-2, 1, 1, 100);

    z2= normrnd(0, 1, 1, 100);

    z3= normrnd(2, 1, 1, 100);

 

Найдем центры интервалов для каждого распределения:

 

t1=-5:0.6:1;

t2=-3:0.6:3;

t3=-1:0.6:5;

 

Шаг d=0.6. Построим гистограммы распределений:

 

hist(z1,t1)

hist(z2,t2)

hist(z3,t3)

 

Запомним значения столбцов гистограммы:

 

w1=hist(z1,t1);

w2=hist(z2,t2);

w3=hist(z3,t3);

 

Нормализируем эмпирические плотности распределений:

 

d=0.6

w11=w1./ (2*d*100);

w22=w2./ (2*d*100);

w33=w3./ (2*d*100);

 

Построим графики:

 

plot(t1,w11, '-g',t2,w22, '-r',t3,w33, '-b')

 

Рассчитаем средние значения распределений:

 

m1=sum(t1.*w1)/100

m2=sum(t2.*w2)/100

m3=sum(t3.*w3)/100

 

Теоретические значения математических ожиданий -2, 0, 2.

Рассчитаем среднеквадратичные отклонения:

 

sx1=0;

sx2=0;

sx3=0;

    for i=1:11

    sx1= sx1+(m1-t1(i))^2*w1(i);

    sx2= sx1+(m2-t2(i))^2*w2(i);

    sx3= sx3+(m3-t3(i))^2*w3(i);

    end

 

    sigma1= sqrt(sx1/100)

sigma2= sqrt(sx2/100)

sigma3= sqrt(sx3/100)

 

Как и в прошлый раз, теоретическое значение во всех трех случаях равно1.

 

Для дальнейшего анализа объединим все три распределения:

 

q=zeros(1,300);

for i=1:100

q(i)=z1(i);

q(i+100)=z2(i);

q(i+200)=z3(i);

end

 

Массив интервалов:

 

p=zeros(1, 20);

 

Шаг интервала:

 

d=(5-(-5))/38;

 

 

Ширина интервала 2*d:

 

for i=1:20

p(i)=-5+ 2*d*(i-1);

end

 

Гистограмма распределения:

 

hist(q, p)

 

Запомним значения столбцов:

 

s1=hist(q,p);

 

s1 - высота столбцов.

 

Определим координаты эмпирического графика плотности распределения

 

s11=s1./ (2*d*300);

 

Значение математического ожидания распределения равно 0. Теоретическое среднеквадратичное отклонение найдем исходя из того, что в диапазон (-5, +5) укладывается 6 σ (±3).

 

σ=10/6=1.667

 

Теоретические значения графика нормального закона распределения:

 

    s0=normpdf(p, 0, 1.667);

 

Сравним графики теоретического и экспериментального законов плотности распределения:

 

    plot(p,s11,'-g', p, s0, '-r')

 

Определим среднее значение для эмпирического распределения:

 

    mm=sum(p.*s1)/300

 

Теоретическое значение математического ожидания 0.

Среднеквадратическое отклонение:

 

sxx=0;

    for i=1:20

    sxx= sxx+(mm-p(i))^2*s1(i);

    end

    sigmas= sqrt(sxx/300)

 

Теоретическое значение 1.667.