Средняя и предельная ошибки выборочного наблюдения для показателей средней и для доли.

 

При любом статистическом наблюдении (сплошном и выборочном) могут встретиться ошибки двух видов: регистрации и репрезентативности. Ошибки регистрации могут иметь случайный и систематический характер.

 

Случайные ошибки складываются из множества различных неконтролируемых причин, носят непреднамеренный характер и обычно по совокупности уравновешивают друг друга (например, изменения показателей прибора при температурных колебаниях в помещении).

Систематические ошибки тенденциозны, так как нарушают правила отбора объектов в выборку (например, отклонения в измерениях при изменении настройки измерительного прибора).

 

Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению, их невозможно избежать и они возникают в результате того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Значения показателей, получаемых по выборке, отличаются от показателей этих же величин в генеральной совокупности (или получаемых при сплошном наблюдении).

Ошибка выборочного наблюдения есть разность между значением параметра в генеральной совокупности и ее выборочным значением. Для среднего значения количественного признака она равна: , а для доли (альтернативного признака) — .

Ошибки выборки свойственны только выборочным наблюдениям. Чем больше эти ошибки, тем больше эмпирическое распределение отличается от теоретического. Параметры эмпирического распределения и являются случайными величинами, следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами, могут принимать для разных выборок разные значения и поэтому принято вычислять среднюю ошибку.

Средняя ошибка выборки есть величина ,  выражающая среднее квадратическое отклонение выборочной средней от генеральной средней. Эта величина при соблюдении принципа случайного отбора зависит прежде всего от объема выборки п и от степени варьирования признака: чем больше п и чем меньше вариация признака (следовательно, и значение ), тем меньше величина средней ошибки выборки . Соотношение между дисперсиями генеральной и выборочной совокупностей выражается формулой:

т.е. при достаточно больших п можно считать, что . Средняя ошибка выборки показывает возможные отклонения параметра выборочной совокупности от параметра генеральной.

Средняя ошибка выборочной доли .

 

Кроме средней ошибки вводят понятие предельной ошибки выборки. Предельная ошибка выборки – этомаксимально возможное расхождение выборочной и генеральной средних, т.е. максимум ошибки при заданной вероятности ее появления.

 

В общем виде эта ошибка вычисляется, как , где t – параметр критерия Стьюдента, называемый коэффициентом доверия. Значения t не требуют вычисления и для разного объема выборки хранятся в специальной таблице.

 

Тогда, предельная ошибка выборочной средней: ,

предельная ошибка выборочной доли: .

 

 

В табл. 9.2 (приложение в рабочей тетради 5) приведены выражения для вычисления средней ошибки  и предельной ошибки  выборки при разных методах организации наблюдения.

 

Необходимо отметить, что о величине средней ошибки  можно судить лишь с определенной, вероятностью Р (Р ≤ 1). Ляпунов А.М. доказал, что распределение выборочных средних , a следовательно, и их отклонений от генеральной средней, при достаточно большом числе  приближенно подчиняется нормальному закону распределения при условии, что генеральная совокупность обладает конечной средней и ограниченной дисперсией. Математически это утверждение для средней выражается в виде:

,

а для доли:

 

где   - функция Лапласа, t – коэффициент доверия. Оба этих параметра приводятся в соответствующих таблицах.

 

Например, при t = 1 значение функции Ф(t) = 0,683, а при t = 2 значение функции Ф(t) = 0, 954. Тогда, выражение (3) может быть прочитано так: с вероятностью Р = 0,683 (68,3%) можно утверждать, что разность между выборочной и генеральной средней не превысит одной величины средней ошибки m (t = 1), или, с вероятностью Р = 0,954 (95,4%) — что она не превысит величины двух средних ошибок m (t = 2).