Средние величины. Мажорантность средней. Средняя хронологическая. Темпы роста средних величин. Среднегодовой темп роста и прироста

Вопросы и задания

• Для чего используются средние величины?

• Назовите частные случаи среднего степенного. В каких случаях применяется каждое из них?

• В чем заключается свойство мажорантности средних?

• В чем отличие средней взвешенной арифметической от простой арифметической средней?

• Выведите формулу средней хронологической.

• Как определяется темп роста в i-й период времени?

• Что такое общий темп роста и как он определяется?

• Чем отличается среднегодовой темп роста от темпа прироста и как они рассчитываться?

Задачи

1. Задан ряд x, найдите относительную частоту признака (вес) и все виды средних. Сделать вывод об однородности совокупности.

1)

2)

Ответ:

1)  ;

2. Совокупность предприятий была разделена на группы в зависимости от величины стоимости реализованной продукции. Количество предприятий в каждой группе и среднее значение стоимости реализованной продукции в каждой группе даны в таблице:

 

Номер группы	1	2	3	4	5	5
Кол-во предприятий в группе (ед.)	4	4	5	7	5	5
Среднее значение стоимости реализованной продукции (ден.ед.)	15	20	25	30	35	35

Определите среднюю стоимость реализованной продукции по совокупности предприятий в целом. Найдите все виды средних.

Решение:

№		1	2	3		4	5	Σ,П			Итог
Количество предприятий		4	4	5		7	5	25
Среднее значение стоимости продукции		15	20	25		30	35
Вес		0.16	0.16	0.2		0.28	0.2
среднее гармоническое		0.07	0.05	0.04	0.03		0.03
		0.01	0.01	0.01	0.01		0.01		0.04	23.97
среднее геометрическое.		1.54	1.61	1.90	2.59		2.04		25.02	25.02
средняя арифметическая		2.40	3.20	5.00	8.40		7.00		26.00	26.00
среднеквадратическое		225	400	625	900		1225
		36	64	125	252		245		722.00	26.87

 

3. Какова средняя хронологическая величин 1, 2, 5, 9, характеризующих последовательность равных промежутков времени?

Рассчитайте среднюю хронологическую за весь период 3 способами:

a) динамика линейна (через площади трапеций; при помощи формулы общей средней хронологической; при помощи средневзвешенной, преобразованной из формулы общей средней хронологической);

b) динамика экспоненциальна;

c) используя среднегодовой коэффициент α=0.4;

Решение:

Определим значения границ

a) Пусть динамика изменяется линейно.

• Найдем среднюю хронологическую через площади трапеций, для наглядности изобразив рисунок:

Число трапеций равно трем, следовательно средняя хронологическая равна:

• Найдем среднюю хронологическую посредством формулы общей средней хронологической:

Найдем τ:

• Найдем среднюю хронологическую через общую формулу:

• Найдем среднюю хронологическую через веса:

α 0	α 1	α 2	α 3
1/(2 3) = 1/6	(1+1)/(2 3) = 2/6	(1+1)/(2 3) = 2/6	1/(2 3) = 1/6

b) Найдем среднюю хронологическую при экспоненциальном изменении динамики:

c) Найдем среднюю хронологическую через среднегодовой коэффициент α=0.4:

4. Промежутки времени — равные. Стоимость фондов на конец года совпадает со стоимостью фондов на начало года.

t	0	1	2	3	4	4
ОФ	150	180	190	210	250	250

ü Рассчитайте среднегодовую стоимость ОФ за весь период 3 способами:

a) динамика линейна (через площади трапеций; при помощи формулы общей средней хронологической; при помощи средневзвешенной, преобразованной из формулы общей средней хронологической);

b) динамика экспоненциальна;

c) используя среднегодовой коэффициент α=0.4;

ü Среднегодовую стоимость ОФ в 1.2.3.4 периоде используя среднегодовой коэффициент (α = 0.4);

 

5. В первые три года периода численность безработных возрастала в среднем на 2% в год, за следующие три — на 4% и в последние 2 года периода среднегодовые темпы роста составили 103%. Определите среднегодовые темпы роста (среднегодовых) и базовый (общий) темп прироста среднегодовой численности безработных за весь период.

Ответ:

Cреднегодовой темп роста  ;общий темп прироста – 26.6%.

6. В таблице величины стоимости основных фондов на конец года за ряд лет:

Год	0	1	2	3	4	4
Стоимость основных фондов на конец года	100	120	125	135	140	140

 

Предположим, что стоимость фондов на конец года t совпадает со стоимостью на начало года t+1. Среднегодовой коэффициент равен 0.3. Определите:

ü среднегодовую стоимость фондов в 1, 2, 3, 4 годах;

ü среднегодовой темп прироста среднегодовых стоимостей ОФ за весь период.

Решение:

Средняя хронологическая в определенном периоде при условии, что x_i на конец периода совпадает c x_i на начало периода, рассчитывается через соответствующую формулу с использованием среднегодового коэффициента:

Год	0	1	2	3	4
Стоимость ОФ на конец года	X 0	X 1	X 2	X 3	X 4
	100	120	125	135	140
	-------
		106	121.5	128	136. 5

ü  Рассчитаем среднегодовой темп прироста среднегодовых стоимостей ОФ за весь период:

Первоначально рассчитывается общий темп роста средней величины:

-темп роста средних за 4 года

 

Затем среднегодовой темп роста за весь период:

среднегодовой темп прироста за весь период:
 — среднегодовой темп прироста = 9%.

7. * Для своего региона и России в целом рассчитайте показатели динамики за период 20** –20** гг. (возьмите 20 последних лет):

1) Темпы роста населения в 20** г. по сравнению с 20**г. (возьмите первый и последний год);

2) Темпы прироста населения в 20** г. по сравнению с 20**г. (возьмите первый и последний год);

3) Среднегодовой темп прироста населения за весь период;

4) Абсолютный прирост населения в 20** г. по сравнению с 20**г. (возьмите первый и последний год).

Данные возьмите на сайте ФСГС в сборнике «Регионы России. Социально-экономические показатели за 20**г.» в разделе Численность населения. Пример для 2017г.: http://www.gks.ru/bgd/regl/b18_14p/Main.htm

8. На сайте Росстата найдите данные за 20** г. об объеме выпуска отечественной продукции в различных отраслях народного хозяйства (Симметричная таблица «Затраты-выпуск» отечественной продукции за 20** год (млн руб.), URL: https://www.gks.ru/accounts), а также о среднегодовой численности занятых в России по видам экономической деятельности (URL: https://www.gks.ru/labour_force)

Выберите любые 5 видов экономической деятельности. Определите трудоемкость по каждому виду. *Здесь нужно вспомнить теорию МОБ: выпуск отраслей представлен в столбцах, суммарный выпуск – последняя строка. При этом некоторые столбцы нужно просуммировать, приводя к общим видам экономической деятельности (воспользуйтесь ОКПД – Общероссийским классификатором продукции по видам экономической деятельности)

Выведите среднюю арифметическую трудоемкость по стране в целом (используйте среднюю относительных величин).

Тест

1. Для нахождения средней величины типа запаса за некоторый период времени используется среднее арифметическое взвешенное, называемое средним _____________________

a) хронологическим

b) арифметическим

c) геометрическим

d) гармоническим

2. Темп роста средней хронологической за отдельные периоды является средней взвешенной ____________ темпов роста за отдельные периоды, если веса рассчитываются по информации первого периода.

a) квадратической

b) арифметической

c) гармонической

d) геометрической

3. Среднее арифметическое является частным случаем:

a) среднего хронологического

b) среднегодового коэффициента

c) среднестепенного

d) среднего арифметического взвешенного

Основные понятия

Средние объемные величины

Среднее арифметическое простое

Среднее арифметическое взвешенное

Среднее квадратическое

Среднее гармоническое

Среднее геометрическое

Мажорантность средних

Средняя хронологическая

Темп роста за период

Общий темп роста и прироста

Среднегодовой темп роста и прироста