Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Мощность конечных множеств. Элементы комбинаторики
Множество называют конечным, если оно имеет конечное число различных элементов; такое число называют мощностью множества и обозначают . Комбинаторика – раздел математики, изучающий количества возможных комбинаций. Прямым или Декартовым произведением множеств A и B является множество следующего вида , иными словами, множество всевозможных пар элементов, где первым берется элемент из первого множества, а вторым – из второго множества. Аналогично задается произведение из нескольких множеств. Каждый элемент прямого произведения является упорядоченным множеством нескольких элементов: . Такой упорядоченный набор называют вектором в обобщенном виде, элементы которого не обязательно числовые. Для векторного произведения следующего вида Мощность равна произведению мощностей сомножеств. Если комбинация состоит из упорядоченного набора элементов, где первый берется из множества мощностью , второй из множества мощностью и последний из множества мощностью , тогда количество таких комбинаций Любой набор из n элементов без их повторений называют перестановкой этих элементов. Для нахождения числа перестановок учитывается, что на первой позиции может оказаться любой из n элементов, на второй из элементов и так далее. Таким образом, число перестановок из n элементов равно . Обратим внимание, что задачи оптимизации с прямым перебором всех возможных комбинаций обычно сводится к факториалу числа. Если допустимо любое число повторений среди n элементов и на каждой позиции может быть любой из k штук элементов, тогда таких комбинаций . Если для каждой позиции допустимо свое число повторений, тогда совпадают комбинации с их перестановкой и необходимо разделить факториал на их количество. Пусть имеется n различных элементов, из которых выбирается k штук и располагаются подряд, такой упорядоченный ряд называют размещением и находится аналогично перестановке . Для упрощения результата домножим и разделим факториал числа элементов, тогда получим число размещений Число размещений дает количество векторов длиной k с различными элементами, которые можно получить из элементов множества мощностью n.
Если из n элементов берется k штук без учета порядка их следования, тогда такую комбинацию называют сочетанием элементов. Сочетание k элементов меньше числа их размещений в раз. В общем случае сочетание элементов равно Для конечного множества A мощностью n число сочетаний по k дает количество различных подмножеств с мощностью k. При небольших n число сочетаний удобно находить по треугольнику Паскаля
Для любого внутреннего элемента треугольника он равен сумме стоящих выше его элементов. Для нахождения числа сочетаний из n по k сначала выбирается строка, в которой берем элемент с номером k, начиная с . Сумма элементов каждой строки треугольника дает число всех подмножеств для конечного множества. Каждое множество мощностью n имеет различных подмножеств. Число сочетаний применяется в биноме Ньютона, который имеет следующий вид
Множества чисел Кроме рассмотренных выше конечных множеств можно встретить и бесконечные множества, которые бывают двух основных видов: 1. Множество называется счетным, если возможно каждый его элемент пронумеровать натуральным числом; 2. Множество является несчетным, если нумерация всех его элементов невозможна. Основными числовыми множествами являются: – множество натуральных чисел (ноль не входит), – множество натуральных чисел с включением нуля, – множество целых чисел. В указанных множествах элементы можно пронумеровать и каждому целому числу соответствует натуральное число, мощности этих множеств совпадают. Множество рациональных чисел . Упорядочив такие дроби по возрастанию знаменателей, тогда можно выполнить нумерацию натуральными числами, которая также является взаимно-однозначной. Доказано, что любое рациональное число в десятичной форме имеет в дробной части период. Множество иррациональных чисел I, которые в десятичном виде имеют не периодическую дробную часть, среди которых существуют трансцендентные числа – не являются корнями ни для каких многочленов и нетрансцендентные – числа, являющиеся корнями для некоторых многочленов.
Множество действительных чисел R – множество всех чисел и с периодической и непериодической дробной частью такое, что . Часто встречаются подмножества для R в виде ; – интервал; – полуинтервалы и – лучи. Возможны объединения этих подмножеств. Комплексные числа . Все рассмотренные выше числовые множества являются подмножеством для множества комплексных чисел, поскольку все действительные числа являются комплексными с нулевой мнимой частью. Теорема: Множество не является счетным. Для конечного множества его мощность – число различных элементов, для бесконечных множеств их мощность называют кардиналом. По теореме Кантора мощность отрезка отличается от мощности натуральных чисел Пусть между счетным и континуальным множествами не существует множеств промежуточной мощности. При этом является счетным множеством, но стремится к континууму, является множеством несчетных множеств. Для доказательства равномощности бесконечных множеств необходимо установить взаимно-однозначное соответствие между их элементами. Бинарные отношения или соответствие на множествах X и Y являются декартовым произведением их подмножеств. Соответствие является функциональным, если для каждого X однозначно определен элемент из Y. Функциональное соответствие является взаимообратным, если каждому элементу из Y соответствует единственный элемент из X. При выполнении этого для декартового произведения можно утверждать, что для найдем и для найдется его прообраз . Именно такое определение функции и взаимо-однозначного взаимодействия вводится в математическом анализе, где X и Y являются числовыми множествами. Множества N, Q и Z равномощны, поскольку между ними можно установить взаимо-однозначное соответствие Континуальные множества – равномощны, также, как и любые два отрезка числовой оси или плоскости и имеют континуальную мощность. Исключение границ не влияет на мощность – интервал и полуинтервал обладают континуальной мощностью. R и – равномощны с учетом того, что , счетности Q и несчетности R, следует, что I – несчетное множество. Тем самым мощность иррациональных чисел существенно превосходит мощность рациональных. Объединением и пересечением конечного числа и конченого множества получим конечное множество. Для счетных множеств объединение дает счетное множество. Для конечного множества A множеством его подмножеств имеет – мощность. Для счетного множества число всех его подмножеств континуально. – описывает связь мощности счетного и несчетного множеств. Мощность объединений множеств . Для пересекающихся множеств . В общем случае мощность объединения n множеств определяет формулу включения-исключения
Операции с числами Операции над числами – совокупность действий над упорядоченной последовательностью цифр в соответствии с набором правил, задаваемых алгоритмами выполнения операций, в результате которых образуется новая последовательность цифр. Основными операциями над числами являются арифметические операции, операции сравнения, преобразования числа и логические операции.
К арифметическим операциям относятся операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечение квадратного корня. Методы выполнения этих операций зависят от класса числа – числового множества. Комплексное число представляет собой упорядоченную пару вида , геометрически комплексное число располагается на плоскости, в отличии от всех остальных чисел, которые располагаются на прямой. Алгебраические операции над комплексными числами производятся иначе, чем над всеми остальными числами. Простейшие алгебраические операции над комплексными числами: 1. Сложение: ; 2. Вычитание: ; 3. Умножение на действительное число: ; Остальные алгебраические действия над комплексными числами производится в алгебраической форме записи комплексного числа вида 1. Умножение: ; 2. Деление: . Помимо основных алгебраических операций и алгебраической формы у комплексных чисел определена операция сопряжения вида , которая представляет собой смену знака между действительной и мнимой частью. В тригонометрической форме комплексного числа вида определены следующие операции 1. Умножение ; 2. Возведение в степень (формула Муавра) 3. Деление 4. Извлечение корня натуральной степени 5. Извлечение корня комплексной степени (производится в показательной форме комплексного числа) Комплексные числа на ровне со всеми другими способны определять собственные множества на z-плоскости. Пусть имеется два комплексных числа, тогда соотношение следующего вида задает окружность с центром в точке с радиусом R. Общее уравнение кривой на z-плоскости задается соотношением следующего вида , которая может быть как ориентированной, так и не ориентированной. Комплексный многочлен – выражение следующего вида, в котором учувствуют только комплексные числа и переменные Любой комплексный многочлен n-ой степени можно представить в следующем виде, в котором – корни многочлена, а – кратности со свойством Если у комплексного многочлена все коэффициенты действительные, тогда комплексные корни будут встречаться сопряженными парами.
Элементарная теория чисел В элементарной теории чисел числа изучаются без использования других разделов математики. Основные направления изучения рассматриваются в данном разделе.
Делимость чисел – одно из основных понятий арифметики, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определенным на множестве целых чисел. Если для некоторого целого числа a и целого числа b существует такое целое число q, что bq=a, то говорят, что число a делится нацело на b или что b делит a. При этом число b называется делителем числа a, делимое a будет кратным числа b, а число q называется частным от деления a на b. Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители. Теорема – Основная теорема арифметики: Каждое натуральное число n>1 можно представить в виде , — простые числа, причём такое представление единственно, если не учитывать порядок следования множителей. Развлекательная математика, занимательная математика, математические развлечения — направления и темы в математике, проявляющиеся в большей степени в рамках досуга, развлечения, самообразования и популяризации математики, нежели в профессиональной математической деятельности. «Основная аудитория» развлекательной математики — обучающиеся математике, любители, хотя разработками и исследованиями в занимательной математике занимаются как любители, так и специалисты. Одна из характерных черт развлекательной математики — использование математических головоломок и игр. Многие области развлекательной математики не требуют глубокого знания математики. Занимательная математика часто предназначена для детей и неподготовленных взрослых, побуждая их к дальнейшему изучению темы. Математические игры — это игры с участием двух и более игроков, правила которых, стратегии и выигрыши могут быть объяснены с помощью математики. Игроки не обязательно должны быть математиками, чтобы играть в математические игры. Например, манкала является математической игрой, поскольку математики могут изучать её с помощью комбинаторной теории игр, но для того, чтобы в неё играть, не обязательно быть математиком.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-12; просмотров: 200; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.23.127.197 (0.025 с.) |