Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Алгебра матриц

       Матрицей размера x  называется таблица их m строк и n столбцов.

       Если , тогда матрица называется квадратной, в ее элементы  – главной диагональю. Вторая диагональ называется побочной.

       Верхнетреугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, находящиеся ниже главной диагонали равны 0.

       Единичная матрица  – квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а остальные равны 0.

 

Операции над матрицами

Сложение матриц.

Суммой двух матриц A и B размерами x  называется матрица C, у которой все элементы равны сумме элементов матриц, участвующих в сложении.

Умножение матрицы на число.

Умножением матрицы A на число  называется матрица C, у которой все элементы равны результату произведения элементов матрицы A на число .

Транспонирование.

Транспонированием матрицы A называется матрица , которая получена преобразованием всех строк в столбцы с тем же номером

Умножение матриц.

Умножением матриц A и B размерами x  и x  соответственно называется матрица C, у которой все элементы равны соотношению

       Свойства операций.

1. .

2. Для каждой нулевой матрицы размера x  и матрицы , где N – нулевая матрица (все элементы равны 0).

3. .

4. .

5. , где  и  – числа.

6. Если существует результат произведения , тогда не всегда существует .

7. Если A и B квадратные, тогда .

8. .

9. .

10. .

 

Определитель матрицы

Минора  квадратной матрицы A называется определитель матрицы, которая получается из матрицы A удалением i-ой строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением к элементу  матрицы A называется число

       Определитель матрицы (детерминант) – скалярная величина, которая может быть вычислена и поставлена в однозначное соответствие любой квадратной матрице. Определитель матрицы A обозначается как ,  или .

Данная формула является разложением матрицы A по первой строке. Определитель можно находить по формуле аналогичной, указанной формуле, раскладывая по любой строке или столбцу.

       Определитель матрицы A размером 2x2 называется число

       Определитель матрицы A размером 3x3 называется число

Формулы для случаев 2x2 и 3x3 считают тоже число, что и общая формула для нахождения определителя.

Теорема: Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

       Свойства определителя

1. .

2. Если у матрицы поменять местами две строки, то определитель поменяет знак.

3. Если в матрице есть строка или столбец из нулей, то ее определитель равен нулю.

4. Если у матрицы две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то ее определитель равен нулю.

5. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.

6. Если к строке матрицы прибавить или вычесть другую строку, помноженную на любое число, то определитель не изменится.

7. .

 

Обратные матрицы

       Пусть задана квадратная матрица , тогда матрица  называется обратной, если выполняется равенство . Если A и B являются обратными матрицами, тогда , таким образом, обратная матрица существует, только если у исходной матрицы .

       Если , тогда матрица A называется вырожденной.

       Если A – невырожденная матрица, тогда у нее существует обратная матрица , которую можно найти по формуле

В данной формуле  – матрица из алгебраических дополнений (присоединенная матрица) для элементов матрицы A.

 

Системы линейных уравнений

       Системой из m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

В данном соотношении  – неизвестные,  – коэффициенты при неизвестных,  – свободные коэффициенты.

       Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы. При добавлении в матрицу системы свободные коэффициенты будет получена расширенная матрица системы.

       Набор из n чисел  называется решением системы, если при подстановке этих чисел в систему ее уравнения обратятся в верные равенства. Решить систему – найти все возможные значения набора из n чисел  заданной системы, обладающие вышеуказанным свойством.

 

Метод Крамера

Теорема: Если у системы из n линейных уравнений с n неизвестными матрица системы невырожденная, тогда у системы существует единственное решение, которое можно найти следующим образом

В данной формуле  – матрица, полученная из A заменой i-го столбца на столбец свободных коэффициентов b.

 

Матричный метод

       Если ввести столбец неизвестных  и столбец свободных коэффициентов , тогда матричное уравнение

Равносильно системе уравнений

       В случае, когда m=n и A – невырожденная матрица, тогда решение системы в матричном виде прите вид

 

Метод Гаусса

       Элементарными называются преобразования матрицы

1. Поменять местами две строки.

2. Умножить строку на число, отличное от 0.

3. Прибавить или вычесть из строки другую строку, умноженную на любое число.

Элементарные преобразования расширенной матрицы системы приводят к эквивалентной системе, у которой остаются те же решения. Элементарные преобразования относятся только к строчкам матрицы.

       Ступенчатая матрица – матрица, у которой все ненулевые строки располагаются над всеми чисто нулевыми строками и ведущий элемент каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной. Верхнетреугольная матрица – частный случай ступенчатой матрицы.

       Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований

1. Ставим на место первой строки строчку, начинающуюся не с 0.

2. С помощью первой строки обнулим все элементы первого столбца.

3. Повторяем действия 1 и 2 для каждой последующей строки и столбца без учета уже нулевых столбцов и использованных строк.

Ранг матрицы

       Минора, порожденная матрицей , называется , составленной из элементов, стоящих в выделенных k строках и k столбцах.

       Рангом матрицы A () называется наибольший порядок k не нулевого минора, порожденного этой матрицей. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы равен рангу исходной матрицы. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.

Теорема Кронеккера-Карелли: Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, тогда система совместна.

       Если у совместной системы ранг матрицы равен числу неизвестных, тогда решение будет единственным. Если ранг матрицы A меньше числа переменных n, тогда решений системы бесконечно много и для их записи потребуется  свободных переменных.

 

Векторная алгебра

       Вектором называется направленный отрезок. Примеры векторов и их наименований представлены на рисунке 1.

Рисунок 1. Примеры векторов.

Вектор не зависит от точки приложения.

       Нулевой вектор – вектор нулевой длины.

       Два вектора являются коллинеарными, если они параллельны.

       Три вектора и более являются компланарными, если они все параллельны некоторой плоскости.

 

Направляющие косинусы

       Пусть  образует с координатными осями Ox, Oy, Oz углы ,  и  соответственно, тогда ,  и  называют направляющими косинусами

Вектор с координатами из направляющих косинусов – отнормированный вектор

 

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости

       Уравнение с угловым коэффициентом  задает все не вертикальные прямые (рисунок 5). В данном уравнении коэффициент , который влияет на прямую следующим образом:  – прямая возрастает,  – прямая убывает,  – прямая параллельная оси Ox.

Рисунок 5. Прямая, заданная уравнением с угловым коэффициентом.

Вертикальная прямая имеет уравнение  и его невозможно получить из рассматриваемого уравнения.

       Прямая, проходящая через точку  и вектор нормали  имеет уравнение . Построение такого вида прямой представлено на рисунке 6.

 

Рисунок 6. Прямая, проходящая через заданную точку и вектор нормали.

Для построения такого вида прямых задается дополнительная точка

 и исходя из координат вектора  выводится указанное уравнение.

       Преобразовав уравнение прямой, проходящей через точку и вектор нормали, можно получить общее уравнение прямой вида , где A и B – координаты вектора нормали. Полученное уравнение задает все прямые, в том числе и вертикальные прямые.

       Преобразовав уже общее уравнение прямой, будет получено уравнение в прямой в отрезках вида

Построение прямой такого вида представлено на рисунке 7.

Рисунок 7. Построение прямой, заданном в уравнении в отрезках.

       Дальнейший анализ возможности задать прямую на плоскости приведет еще к двум видам уравнений. Первым из них является параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку  и направляющий вектор

Из полученного уравнения вытекает каноническое уравнение прямой

Построение прямой по последним двум последним уравнениям представлены на рисунке 8.

Рисунок 8. Построение прямой, заданной точкой и направляющим вектором.

       Помимо всех вышеуказанных способов существует еще способ задания прямой с помощью двух точек  и

Пример прямой такого вида представлен на рисунке 9.

Рисунок 9. Прямая, заданная с помощью двух точек.

       Помимо способов задания прямой на плоскости, следует определить признаки взаимного расположения прямых на плоскости. Если прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом, тогда тангенс угла между заданными прямыми , имеющими уравнения  и  будет равен

Исходя из этого уравнения, выделены признаки взаимного расположения прямых: при

 – прямые параллельны и при  – прямые перпендикулярны.

       Рассматривая общие уравнения прямых, которые имеют вид  и

 получим косинус угла между прямыми  равным

Аналогично предыдущему случаю, из этого уравнения вытекают признаки параллельности прямых, если  и признак перпендикулярности, если . Угол  также является углом между нормалями указанных прямых.

       Используя общее уравнение прямой , можно найти расстояние d от любой точки  до этой прямой

Расстоянием считается минимальный отрезок (перпендикуляр) от заданной точки до указанной прямой.

 

Плоскость в пространстве

       Пусть задана точка  и вектор нормали . С их помощью можно найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и вектор нормали. Данное уравнение имеет вид

Построение такого вида плоскости представлено на рисунке 10. Для построения выбирается произвольная точка , тогда полученный вектор

, из которого выводится рассматриваемое уравнение.

Рисунок 10. Плоскость, заданная с помощью точки и вектора нормали.

       Преобразовав предыдущее уравнение можно получить общее уравнение плоскости

Если , тогда уравнение плоскости примет вид  и задает плоскость параллельную Ox. Аналогично, если , тогда уравнение плоскости примет вид  соответственно и задают плоскости параллельные Oy и Oz соответственно. Если , тогда получим уравнение , которая задает плоскость, проходящую через начало координат.

       Дальнейшее преобразования общего уравнения плоскости при условии

, тогда получим уравнение плоскости в отрезках

В данном уравнении a, b и c – точки пересечения с соответствующими осями координат и не равны нулю. Построение плоскости такого вида представлено на рисунке 11.

Рисунок 11. Плоскость, заданная с помощью уравнения в отрезках.

       Помимо вышеуказанных способов задания плоскости в пространстве, также плоскость можно задать с помощью трех точек в пространстве , которые не лежат на одной прямой. Способ построения плоскости такого вида представлен на рисунке 12.

Рисунок 12. Плоскость, заданная с помощью трех точек.

Способ построения подразумевает введения четвертой точки , которая лежит в плоскости, также, как и заданные точки, что позволяет задать три компланарных вектора. Исходя из этого уравнение плоскости, заданной с помощью трех точек, имеет вид

       Помимо рассмотренных способов задания плоскости в пространстве, важным также является анализ взаимного расположения плоскостей в пространстве. Пусть заданы две плоскости в пространстве  и . Если угол между плоскостями равен , тогда угол между плоскостями также равен . Исходя из этого угол  вычисляется на основе координат векторов нормалей заданных плоскостей

Исходя из данного уравнения признаки расположения плоскостей в пространстве будут иметь вид:  – плоскости параллельны или  – плоскости перпендикулярны.

       Если задана плоскость  и точка  не лежащая на плоскости, тогда расстояние d от этой точки до плоскости равно

 

Прямая в пространстве

       Поскольку пересечение двух плоскостей в пространстве задают прямую, тогда данная прямая в пространстве описывается системой общих уравнений пересекающихся плоскостей

Построение прямой, указанным способом представлено на рисунке 13.

Рисунок 13. Прямая, заданная пересечением двух плоскостей.

       Вторым способом задания прямой в пространстве является задание прямой с помощью точки  лежащей на прямой и направляющего вектора . Из этих данных можно получить параметрическое уравнение прямой в пространстве

Построение прямой с помощью точки и направляющего вектора представлено на рисунке 14.

Рисунок 14. Задание прямой с помощью точки и направляющего вектора.

Преобразовав данное уравнение, получим каноническое уравнение прямой в пространстве

       Последний рассматриваемый способ построения прямой в пространстве подразумевает введение второй точки , следовательно возможно получить уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки

 

       Проанализируем признаки взаимного расположения прямых в пространстве. Пусть заданы две прямые  и , тогда заданные прямые пересекаются или скрещиваются под углом  равным

Исходя из этого уравнения, прямые параллельны, если  или прямые перпендикулярны, если .

 

Кривые второго порядка

       Кривой второго порядка называется линия, которая задается уравнением второго порядка вида

В данном уравнении A, B и C – не равны нулю одновременно.

       С помощью рассматриваемого уравнения могут быть заданы кривые следующих типов (случаи 4 – 7 называются вырожденными):

1. Эллипс;

2. Гипербола;

3. Парабола;

4. Мнимый эллипс ;

5. Пара пересекающихся прямых ;

6. Пара параллельных прямых ;

7. Точка .

Эллипс

Пусть даны две точки , которые называются фокусами. Множество всех точек  таких, что  – сумма расстояний от  до фокусов постоянно называется эллипсом. Пример эллипса представлен на рисунке 15.

Рисунок 15. Изображение эллипса.

       Рассмотрим эллипс на координатной плоскости так чтобы его фокусы были симметричны относительно Oy и лежали на оси Ox (рисунок 16).

Рисунок 16. Расположение эллипса на координатной плоскости.

Пусть  и , таким образом межфокусное расстояние . Обозначим расстояние из определения , в котором

Таким образом получим соотношение

Преобразовав полученное соотношение, получим простейшее уравнение эллипса

В полученном уравнении a и b – большие и малые полуоси соответственно. При  – эллипс втянут по вертикали, а его фокусы будут лежат на оси Oy. Если , тогда эллипс превратится в окружность, при этом межфокусное расстояние будет равно нулю и будут лежать в начале координат.  Уравнение окружности в данном случае примет вид

       Если центр эллипса находится в произвольной точке , тогда уравнение эллипса со смещенным центром примет вид

Уравнение окружности со смещенным центром, в таком случае, примет вид

 

Гипербола

       Зафиксируем две точки  и , которые называют фокусами, тогда множество точек M таких, что модуль разности от заданной точки до фокусов  называется гиперболой.

       Обозначим  и расположим фокусы  и  на оси Ox симметрично, относительно начала координат. Пусть некоторая константа  и рассмотрим точки , такие что , тогда будут получены соотношения

Исходя из этого, получим соотношение

Из полученного соотношения получим простейшее уравнение гиперболы

Пример гиперболы представлен на рисунке 17.

Рисунок 17. Изображение гиперболы.

       Исследовав полученное уравнение гиперболы, получим асимптотические прямые вида , к которым стремятся ветви гиперболы. Построение гиперболы относительно асимптотических прямых представлено на рисунке 18.

Рисунок 18. Гипербола относительно асимптотических прямых.

Прямоугольник с вершинами  называется характеристическим. Его диагонали задают направление асимптотических прямых.

       Если фокусы гиперболы расположить симметрично относительно Oy, тогда ее уравнение примет вид

       Если центр гиперболы сместить в точку , тогда уравнение гиперболы примет вид

 

Парабола

       Зафиксируем точку  – фокус и прямую  – директриса, такая что . Множество всех точек M, равноудаленных от фокуса и директрисы  называется параболой. Обозначим p – расстояние от фокуса до директрисы и расположим  на си Ox, а директрису перпендикулярную Ox. Построение подставлено на рисунке 19.

Рисунок 19. Изображение параболы.

       При таких условиях парабола пройдет через начало координат. Уравнение такого вида параболы имеет вид

Если , тогда ветви параболы направлены в сторону увеличения x; при , тогда ветви параболы направлены в сторону уменьшения x. Если в рассматриваемом уравнении поменять роли x и y таким образом, что , тогда ветви параболы будут смотреть в сторону увеличения y () или в сторону уменьшения y ().

       Если вершину параболы сместить в точку , тогда уравнения примут вид

Пример параболы со смещенным центром представлен на рисунке 20.

Рисунок 20. Изображение параболы со смещенным центром.

 

Поверхности второго порядка

       Пусть на плоскости xOy задана некоторая кривая k с уравнением . Если это уравнение рассмотреть в пространстве, то оно задаст поверхность параллельную Oz, которая называется цилиндром с образующей k.

       Если образующая k является кривой второго порядка, тогда соответствующий цилиндр – цилиндр второго порядка. Аналогично можно расположить цилиндр параллельно Ox или Oy, уравнения которых будут содержать y и z или x и z соответственно.

       Рассмотрим основные типы цилиндров, которые основываются на рассмотренных в трех предыдущих разделах кривых второго порядка.  Для удобства все цилиндры расположены параллельно Oz. Первым случаем является эллиптический цилиндр, который имеет уравнение

Пример эллиптического цилиндра представлен на рисунке 21.

 

Рисунок 21. Эллиптический цилиндр.

Вторым случаем является гиперболический цилиндр, который имеет уравнение

Пример гиперболического цилиндра представлен на рисунке 22.

 

Рисунок 22. Гиперболический цилиндр.

Последним случаем является параболический цилиндр, который имеет уравнение

Пример параболического цилиндра представлен на рисунке 23.

Рисунок 23. Параболический цилиндр.

       Случаи, когда образующая цилиндра имеет смещенный центр в своей плоскости, строятся аналогично рассмотренным выше, с учетом смещения центра образующей кривой.

 

Поверхности вращения

       Поверхностью второго порядка называется поверхность, которая задается уравнением второго порядка относительно переменных x, y и z следующего вида

В данном уравнении коэффициенты A, B, C, D, E и F не равны нулю. Рассмотренные в предыдущем разделе цилиндры второго порядка – пример поверхности второго порядка.

       Помимо цилиндров можно задавать поверхности второго порядка с помощью вращения кривых второго порядка. Основными случаями таких поверхностей являются:

· Эллипсоид вращения, имеющий уравнение

Пример эллипсоида вращения представлен на рисунке 24.

Рисунок 24. Эллипсоид вращения.

· Конус, имеющий уравнение

Пример конуса представлен на рисунке 25.

Рисунок 25. Конус.

· Однополосный гиперболоид, имеющий уравнение

Пример однополосного гиперболоида представлен на рисунке 26.

Рисунок 26. Однополосный гиперболоид.

· Двуполостный гиперболоид, имеющий уравнение

Пример двуполостного гиперболоида представлен на рисунке 27.

Рисунок 27. Двуполостный гиперболоид.

· Эллиптический параболоид, имеющий уравнение

Пример эллиптического параболоида представлен на рисунке 28.

Рисунок 28. Эллиптический параболоид.

· Гиперболический параболоид, имеющий уравнение

Пример гиперболического параболоида представлен на рисунке 29.

Рисунок 29. Гиперболический параболоид.

Гиперболический параболоид не относится к поверхностям вращения и приведен в качестве примера поверхности второго порядка, выпадающей из классификации.

 

Числа и множества

Множества и действия с ними

       Множество относится к неопределяемым понятиям. Множество задается своими элементами одной или различной природы. Множество при его описании задается перечислением его элементов в фигурных скобках. В других случаях, в фигурных скобках задается правило составления элементов или их общие признаки

       Множество, не имеющие элементов, называют пустым множеством . Например, множество действительных решений для уравнения  является пустым, хотя имеются два комплексных корня.

       Над множествами можно проводить следующие действия:

1. Сравнение

Если все элементы множества A принадлежат множеству B, тогда A – подмножество B

Если при этом , тогда  – A совпадает с B кроме некоторых элементов.

 – A и B состоит из одинаковых элементов. Порядок следования элементов в обычном множестве не важен. В случае повторения элементов, учитывается каждый из них единожды с учетом его кратности.

2. Объединение – множество , состоящее из всех элементов этих множеств.

3. Пересечение – множество , состоящее из общих элементов для этих множеств.

4. Дополнение – множество , состоящее из элементов универсального множества , которые не принадлежат множеству A.

5. Разность – множество , состоящее из элементов множества A, которые не принадлежат B.

Указанные операции над множествами обладают следующими свойствами:

1.  – любое равенство можно прочесть и справа на лево, и слева на право;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. .

 

Множества чисел

       Кроме рассмотренных выше конечных множеств можно встретить и бесконечные множества, которые бывают двух основных видов: