Правило сложения комбинаторики.

Если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить  способами, а другое —  способами, то выполнить одно любое из этих действий можно способами.

Пусть дано множество из п различных элементов и из него мы выбираем случайным образом m элементов  Эти m-элементные подмножества могут отличаться: составом элементов; порядком следования элементов; возможностью повтора элементов в подмножестве; объемом подмножества. В соответствии с этим выделяют следующие виды подмножеств.

1. Размещения — упорядоченные m-элементные подмножества m-элементного множества, которые отличаются как составом, так и порядком следования элементов.

Число всех размещений  из n элементов по m (где m<n), определяется по формуле:    

2. Перестановки — любые упорядоченные множества, в которые входят по одному все п различных элементов исходного множества. Число всех перестановок  из n элементов определяется по формуле (перестановки - это частный вид размещений, когда n=m: .):                                                                 

3. Сочетания — m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только составом элементов (без учета порядка следования элементов в подмножестве). Число всех сочетаний  из n элементов по m (где m<n), определяется по формуле:                                                       

При этом отметим, что:

Также можно показать, что выполняются следующие соотношения:

 (правило Паскаля) и

4. Размещения с повторениями — упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются и элементами, и порядком, и возможностью повтора. Число всех размещений с повторениями из n элементов по m определяется в соответствии с правилом умножения комбинаторики по формуле: .

5. Сочетания с повторениями — m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только элементами и возможностью повтора. Число всех сочетаний с повторениями  из n элементов по т определяется по формуле: . 

6. Перестановки с повторениями  — упорядоченные подмножества, в которых элемент , повторяется  раз,  повторяется  раз,...,  повторяется  раз. Число всех перестановок с повторениями определяется по формуле: , где

Классической схемой, или схемой случаев, называется испытание, при котором число элементарных исходов конечно и все из них равновозможны. Элементарное событие ω называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет наступление события А. Классической вероятностью события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу n всех элементарных событий этой схемы: . Из определения вероятности следует, что Р (Ø)= 0,  и .

 

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 2