Помните, что мы используем естественную систему единиц

= c = M Планка √ 3 / (8 π) = 1.

Стр. Решебника 157

Гамильтонова формулировка ОТО в терминах картановских форм

157

Здесь

L D = − v 2

D -

4

3

е − 7D / 2 △ e − D / 2,

L г =

1

6 [

v (a) (b) v (a) (b) - e − 4D R (3) (e)],

L A =

1

2 [

V 2

(б) (А) - F ij F ij ],

L Q = e − 2D (v Q) 2 - e − 2D (∂ (b) Q)

2

;

Лагранжевые плотности и

v Q =

1

N [

(∂ 0 - N l ∂ l) Q + ∂ l N l / 3],

v D =

1

N [

(∂ 0 - N l ∂ l) D + ∂ l N l / 3],

(5.11)

v (а) (б) =

1

N [

ω

р

(а) (б)

(∂ 0 - N l

∂ l) + ∂ (а) N ⊥

(б)

+ ∂ (б) N ⊥

(б) ], (5.12)

v (b) (A) =

1

N

е

я

(a) [ ∂ 0 A i - ∂ i A 0 + F ij N j ]

- скорости компонент и полей метрики, а R (3) (e) - трехкомпонентная

размерная пространственная кривизна, выраженная в триадах e (a) i

R (3) = R (3) (e) -

4

3

е 7D / 2 △ е − D / 2,

(5.13)

р

(3)

(e) =

(5.14)

= − 2 ∂ я

[e

я

(б)

σ (c) | (b) (c) ] - σ (c) | (b) (c)

σ (а) | (б) (а)

+ σ

(в) | (г) (е)

σ

(е) | (г) (в)

,

Где

σ (в) | (а) (б)

= [ ω

L

(а) (б)

(∂ (c)) + ω

р

(а) (в)

(∂ (b)) - ω

р

(до н.э)

(∂ (a))],

ω R

(а) (б)

(∂ (c)) =

1

2 [

е

j

а)

∂ (c) e

j

(б)

+ е я

(б)

∂ (c) e

я

(а) ],

(5.15)

Стр. Решебника 158

Гамильтонова формулировка теории гравитации 158

ω

L

(а) (б)

(∂ (c)) =

1

2 [

е

j

а)

∂ (c) e

j

(б) - e i

(б)

∂ (c) e

я

(а) ],

(5.16)

А также

△ ≡ ∂ я [е

я

а)

е

j

а)

∂ j ]

Является оператором Бельтрами - Лапласа.

С помощью преобразования Лежандра V 2 / N = ру - Np 2 /4 мы

Определить импульсы

р (а) (б) =

v (а) (б)

3

,

(5.17)

p D = 2v D,

(5.18)

р Q = 2v Q,

(5.19)

p A (b) = v A (b).

(5.20)

В результате действие (5.10) принимает гамильтонову форму

W =

(5.21)

= ∫ d 4 x [p Q ∂ 0 Q + p (a) (b) ω R

(а) (б)

(∂ 0) + p A (b) ∂ 0 A (b) - p D ∂ 0 D - C],

C =

(5,22)

= NH + N (b) T (b) + A (0) ∂ (b) p A (b) + λ (0) p D + λ (b) ∂ k e

k

(б)

+ λ A ∂ (б) A (б),

где N, N (b) и A (0) - лагранжевые множители, вариация которых

дает ограничения первого рода на классификацию Дирака [2 ], а λ (0),

λ (b) и λ A - лагранжевые множители для второго вида ограничений

∂ k e

k

(б)

= 0,

(5,23)

р D = 0.

(5,24)

Стр. Решебника 159

Гамильтонова формулировка ОТО в терминах картановских форм

159

Первые три ограничения (5.23) фиксируют пространственные координаты, а ограничение

(5.24) известно как условие минимума трехмерной гипер-

Поверхность, вложенная в четырехмерное псевдориманово пространство. В

В лагранжевой формулировке связь (5.24) выглядит как уравнение

О расходимости вектора сдвига

∂ 0 (e − 3D) + ∂ l (N

л

е -3D) = 0.

(5,25)

Величины

H = -

δ W

δ N = H D + H g + H A + H Q,

(5,26)

Где

H D = -

П 2

D

4 -

4

3

е − 7D / 2 △ e − D / 2,

(5,27)

H g = [6p 2

(а) (б)

+

e − 4D

6

R (3) (e)],

(5,28)

H A =

e − 2D

2 [

П я (А) п я

(А)

+ F ij F ij ],

(5,29)

H Q = e − 2D [e 2D

П 2

Q

4

+ e − 2D (∂ (b) Q)

2 ],

(5.30)

А также

T (0) (a) = − e i

а)

δ W

δ N i = −∂ (b) p (b) (a) + ˜T (0) (a),

(5,31)

Где

˜T (0) (a) = ∑

F = φ, Q, ˜ F

p F ∂ (а) F

(5,32)

Компоненты тензора энергии - импульса.

Стр. Решебника 160

Гамильтонова формулировка теории гравитации 160

Условия компонент энергии - импульса равны

К нулю

H = 0,

(5,33)

Т (0) (а) = 0

(5,34)

И были названы Дираком первичными ограничениями первого рода. В

В соответствии с ним первое из этих условий (5.33) называется гамиль-

Тоновой связи, по аналогии с соответствующим условием для

Релятивистская частица. Напомним, что гамильтониан релятивистской частицы

Является решением гамильтоновой связи относительно импульса

Канонически сопряжена с параметром эволюции в пространстве событий.

Таким способом явных решений первичных ограничений первого

Вид есть одна из центральных проблем релятивистских теорий гравитации

- выбор параметра эволюции в полевом пространстве событий.

Что касается явного решения второго ограничения (5,34), оно ограничено.

Удобно использовать расширение

N (b) = N ||

(б)

+ N ⊥ (б),

(5,35)

∂ (b) N ||

(б)

= ∂ j N j,

(5,36)

∂ (б) N ⊥

(б)

= 0,

(5,37)

p (b) (a) = p ⊥ (b) (a) + ∂ (a) f ⊥ (b) + ∂ (b) f ⊥ (a).

(5,38)

Квадрат импульса в уравнении (5.28) можно представить

Отправлено как

П 2

(б) (а)

= (p ⊥ (a) (b)) 2 + [ ∂ (a) f ⊥ (b) + ∂ (b) f ⊥ (a) ] 2,

(5,39)

где f ⊥

а)

Удовлетворяет уравнению

[ △ f ⊥ (a) + ∂ (a) ∂ (b) f ⊥ (a) ] =

˜T (0) (а),

(5,40)

Стр. Решебника 161

Гамильтонова формулировка ОТО в терминах картановских форм

161

Которое следует из (5.34) после замены (5.38).

Ограничение второго класса (5.24) приводит к еще одной вторичной

Ограничение

δ W

δ D = − T D = 0,

А именно,

(∂ τ - N (b) ∂ (b)) p D = T D,

(5,41)

Где

T D =

4

3 [

Ne

− 7D / 2 △ e − D / 2 + e − D / 2 △ [Ne − 7D / 2

]] -

− N ∂ D [H g + H A + H Q ].

Мы здесь лишь адаптировали стандартный гамильтонова формулировка [7 ] из

Теория гравитации к формам Картана. С точки зрения этих форм,

Искривление принимает билокальную форму. Действие такой теории описывает

физическая система как сжатый осциллятор [ 8 ]. Это дает надежду построить

Квантовой теории такой системы, если мы сможем решить проблемы

Стандартная гамильтонова формулировка на уровне форм Картана.

Стр. Решебника 162

Гамильтонова формулировка теории гравитации 162

Проблемы гамильтоновой формулировки

Перечислим эти проблемы.

1. Первая из них - это проблема однозначного определения не-

Нулевой гамильтониан как генератор эволюции. Тот факт, что

Общая теория относительности - это особая теория с первичными и вторичными

Первоклассные ограничения. Гамильтониан как ограничение равен

нуль. В результате при ограничениях C = 0 действие принимает

Форма

W C = 0 =

(5,42)

= ∫ d 4 x [p (a) (b) ω R

(а) (б)

(∂ 0) + p Q ∂ 0 Q + p A (b) ∂ 0 A (b) - p D ∂ 0 D],