Подставляя его в уравнение (5.48 ), мы получаем удивительно простое уравнение

для диффеоинвариантной локальной функции погрешности

[d 〈 D 〉 (τ)

d τ

] 2

= N

2 ˜H.

(5.56)

Поскольку левая часть равенства не зависит от пространственной координаты

динатам, условие нормировки 〈 N − 1 〉 = 1 позволяет выразить

дифференциальноинвариантная локальная функция погрешности (5.54) в явном виде

N = 〈 √ ˜

ЧАС>

√

ЧАС

.

(5.57)

Подставляя (5.57) в уравнение (5.56), получаем требуемый глобальный результат.

Уравнение деформации

[d 〈 D 〉 (τ)

d τ

] 2

= 〈 √ ˜ H

〉 2

.

(5.58)

Решение уравнения (5.55) дает космологическую зависимость

нулевая гармоника дилатона на временном интервале светимости:

τ =

〈 D 〉 0

∫

〈 D 〉 I d 〈 D 〉 〈 √ ˜ H

〉 − 1

,

(5.59)

где 〈 D 〉 I, 〈 D 〉 0 - начальные и конечные данные соответственно. В

Зависимость нулевой гармоники дилатона от временного интервала

Светимости, в точной теории гравитации, является аналогом

Закон Хаббла в космологии.

Уравнение движения нулевой гармоники дилатона

δ W

δ 〈 D 〉

≡ − T 〈 D 〉

= 0

Стр. Решебника 172

Гамильтонова формулировка теории гравитации 172

совпадает с уравнением, полученным дифференцированием по τ глобального

уравнение связи (5.55):

d 2 〈 D 〉

(d τ) 2 = d 〈 √ ˜

ЧАС>

d τ

Знак равно

1

√

ЧАС

d 〈 ˜H 〉

d τ = d 〈 ˜

ЧАС>

d 〈 D 〉

.

В случае преобладания энергии вакуума правая часть равна

Равным нулю, и мы получаем пустую модель Вселенной, которая

Подробно рассмотрено в главе 6. Для ненулевых гармоник уравнение

Движения

δ W

δ D = − T D

= 0

Принимает форму

Т

D

= T D - 〈 T D 〉 = 0,

(5.60)

T D =

4

3 [

Ne

− 7D / 2 △ e − D / 2 + e − D / 2 △ [Ne − 7D / 2

]] - N

∂ H

∂ D

,

(5,61)

Где H задается уравнениями (5.50) - (5.53). Таким образом, решая

Ограничений, мы выразили все компоненты метрики через ком-

Компоненты тензора энергии-импульса и линейные формы Картана (5.5)

˜ds

2

= e − 4D 〈 √ ˜ H 〉 2

ЧАС

d τ 2 -

(5,62)

- (dX (b) - X (c) [ ω R

(в) (б)

(г) + ω L

(в) (б) (г)] - N (б) d τ)

2

.

Квадратный интервал в диффеоинвариантной форме на поверхности связи (5.54)

Зависит только от индексов касательного пространства.

Гамильтонов формализм

Для гамильтоновой формулировки теории введем импульсы

поля согласно определениям (5. 17) - (5.20). Импульс

Стр. Решебника 173

Точное решение гамильтоновой связи

173

Глобальная составляющая дилатона

P 〈 D 〉

Знак равно

∂ L G

∂ (d 〈 D 〉 / dx 0) = − 2V 0 d 〈 D 〉

N 0 dx 0 ≡ V 0 p 〈 D 〉

,

(5,63)

Импульс скалярного поля

р Q = 2v Q =

2

N [

(∂ 0 - N l ∂ l) Q +

1

3

∂ l N l ],

(5,64)

Импульсы фотонного поля

p A (b) = v A (b) =

1

N

е

я

(а) [ ∂ 0 A i - ∂ i A 0 + F ij N

j ],

(5,65)

И импульсы гравитационного поля

р (а) (б) =

v (а) (б)

3 ≡

p ⊥ (b) (a) + ∂ (a) f ⊥ (b) + ∂ (b) f ⊥ (a),

(5,66)

v (а) (б) =

1

N [

ω R

(а) (б)

(∂ 0 - N l ∂ l) + ∂ (a) N ⊥

(б)

+ ∂ (б) N ⊥

(б) ]. (5,67)

В гамильтоновом формализме уравнение для вектора сдвига имеет вид

Форма (5.31)

е

я

(б)

δ W

δ N i = − T (0) (a) = ∂ (b) p (b) (a) - ˜T (0) (a) = 0,

(5,68)

Где

˜T (0) (a) = ∑

F = A T

(а), Q

p F ∂ (а) F

(5,69)

- компоненты тензора энергии - импульса фотона и

Скалярное поле. Условие поперечности гравитона

∂ (а) ω R

(а) (б)

= 0

Позволяет выразить поперечную часть вектора сдвига через

Компоненты тензора энергии-импульса фотона и

Стр. Решебника 174

Гамильтонова формулировка теории гравитации 174

Скалярного поля, а расходимость вектора сдвига (т. е. его продольного

Конечная часть) задается условием нулевого импульса локального дилатона

(5,45)

п

D

= 2v

D

Знак равно

2

N

[ ∂ 0 (e − 3D) + ∂ l (N l e − 3D)] = 0.

(5,70)

Таким образом, мы определяем все эти компоненты фотона и гравитации.

Поля, за исключением продольной компоненты фотона и

антисимметричная линейная форма гравитационного поля ω L

(в) (б)

(г). Как-

Однако эти компоненты в кинетических условиях действия отсутствуют, и

Они определяются распределением внешних токов и

Дело соответственно.

Таким образом, на уровне ограничений C = 0 действие имеет вид

W C = 0 =

(5,71)

= ∫ d 3 x [ ∫ [p (a) (b) ω R

(а) (б)

(d) + p Q dQ + p A (b) dA (b) ]] - ∫ P 〈 D 〉 d 〈 D 〉,

где канонический импульс дилатона P 〈 D 〉

Удовлетворяет Гамиль-

Тонианское ограничение

п

2

〈 D 〉 = [2 ∫ d

3

xd 〈 D 〉 (τ)

d τ

] 2

= [2 ∫ d

3

x √ ˜ H

] 2

(5,72)

И играет роль генератора эволюции. Ценность момен-

Поворот нулевых гармоник на решениях уравнений движения равен

Энергия Вселенной в этом пространстве событий. Это один из способов

решить проблему ненулевой энергии также и в общей теории относительности [ 6].

Таким образом, если оставить нулевую гармонику дилатона 〈 D (x 0) 〉, то го-

Функция погрешности N 0 (x 0) и вакуумная энергия квантовой

Стр. Решебника 175

5.5. Резюме и литература

175

Осцилляторов, получаем простую динамическую систему, известную в литературе

[20 ] как минивселенная (см. Приложение E).

В следующих двух главах минивселенная будет рассматриваться как экзамен.

Так, чтобы продемонстрировать способность решения большинства перечисленных задач.

Выше.

Резюме