Простые алгебры Ли. Это оказалось определенным

Тивно, насколько пошла классификация,

С выделением четырех основных

Семьи и пять исключительных случаев.

Он определил общее понятие анти-

Симметричная дифференциальная форма, в стиле

Используется сейчас. Картан добавил экстерьер

Производная, как полностью геометрическая и

Координатно-независимая операция. С участием

Эти основы группы Ли и дифференциал

Формы, которые он продолжал производить, очень

Большой объем работ, а также несколько генеральных

Общие техники, такие как перемещение кадров

Которые постепенно были включены в

Математический мейнстрим.

Это соответствие можно установить, указав место для рамки

пространства A ′ n, которое нужно разместить после отображения A ′ n в A n. Вектор

смещение точки −−− →

MM ′ = dr разложим по базису

dr = ω k

Я к (М).

(4.1)

Отображенные базисные векторы I i (M ′) бесконечно отличаются от I i (M), поэтому

I i (M ′) = I i (M) + dI i,

Стр. Решебника 125

Дифференциальные формы Картана

125

а также dI i расширяем базисными векторами:

dI i = ω k

я

Я к (М).

(4,2)

Коэффициенты разложения ω k и ω k

Я определяю аффинную связь. Они

зависят от выбора точек M, M ′, поэтому они выражаются как линейные

дифференциальные формы ω k (d) и ω k

i (d) координат. Если в пространстве

задана аффинная связность кривой x i = x i (t), коэффициенты ω k, ω k

Я есть

Представлены как функции параметра t, умноженного на dt. Разрешите нам

Проинтегрируем систему дифференциальных уравнений (4.1) для неизвестного вектора

Функции r и I i. Начальные условия в начальной точке пути

при t = 0: r = 0, I i = I 0

Я. В результате интегрирования r, I i будет

Вектор-функции от t в пространстве A 0

N точки M 0 и зададим аффинную

Отображение пространства A n в произвольной точке пути M (t) в A 0

П.

Особенно интересен случай, когда путь закрыт и мы

Вернуться в исходную точку M 0. Тогда мы получаем отображение пространства

А 0

П себе. Группа, полученная в точке A 0

N этими аффинными отображениями

Называется группой голономии пространства аффинной связности. Для признания-

Для определения характеристик рассматриваемой геометрии рассмотрим

бесконечно малое преобразование группы голономии, соответствующее ин-

Конечно малый замкнутый путь обхода. Пусть цикл будет как маленький

Параллелограмм. Есть две дифференциальные формы Картана

ω (d) = a i dx

я

,

θ (δ) = b i δ x

я

.

Внешнее произведение этих форм ω и θ называется антисимметричным

Продукт

ω (d) ∧ θ (δ) ≡ ω (d) θ (δ) - θ (d) ω (δ) = (a i b k - b i a k) dx i δ x k.

Стр. Решебника 126

Нелинейные реализации групп симметрии 126

Внешний дифференциал вида ω представляет собой следующее выражение

ω ′ ≡ d ω (δ) - δω (d) ≡ da i δ x

i - δ a i dx

я

Знак равно

∂ a я

∂ x k -

∂ a k

∂ x i) dx k

δ x

я

.

Обычное дифференцирование соответствует сдвигу по одной из координат.

Динатные оси, тогда как внешняя дифференциация соответствует переходу

По замкнутому бесконечно малому циклу. Если бланк Картана заполнен

Дифференциал, внешнее дифференцирование этой формы тождественно равно нулю

(Лемма Понкаре).

Структурные уравнения Картана получаются внешним дифференцированием.

Уравнений (4.1) и (4.2). Для евклидова пространства

0 = dI i ω i (δ) + I i (ω i) ′,

0 = dI j ω

j

я

(δ) + I j (ω

j

я

) ′.

Подставляя (4.2) в полученные уравнения, находим

0 = I i ((ω i) ′ + ω i

j ∧ ω j),

0 = I j ((ω j

я

) ′ + Ω

j

к ∧ ω к

Я).

Из линейной независимости I i структурные уравнения евклидова

пробелы следующие:

(ω

я

) ′ + Ω

я

j ∧ ω j

= 0,

(ω

j

я

) ′ + Ω

j

к ∧ ω к

я = 0.

В евклидовом пространстве система отсчета, связанная с точкой M, не меняется.

В контурной траектории.

Стр. Решебника 127

Дифференциальные формы Картана

127

В общем случае римановой геометрии репер под

Бесконечно малый контур подвергается смещению

(ω

я

) ′ + Ω

я

j ∧ ω j

= Ω

я

,

(ω

j

я

) ′ + Ω

j

к ∧ ω к

я = Ω

j

я

.

Дополнительное движение для возврата рамы в исходное место определяет

Кручение и кривизна риманова пространства. Кручение задается

Смена

Ω i = -

1

2

Т я

jk ω j ∧ ω k,

Чтобы вернуть исходную точку кадра в исходное положение, и

Кривизна риманова пространства - дополнительным поворотом

Фрейм в исходное размещение на значение

Ω

j

я = -

1

2

р

j

Ikl

ω k ∧ ω l.

Здесь T i

jk

Тензор кручения, а R

j

Ikl

Тензор кривизны.

Рассмотрим риманово пространство с нулевым кручением T = 0, R = 0.