Любая точка m на достаточно малой площади точки o лежит в определенной

Геодезическая линия с началом O. Пусть a i - направляющие косинусы ее касательной

Линия в O и t - длина геодезической линии OM. Тогда нормальные координаты

точки M называются n значениями, определяемыми уравнениями x i = a i t. В точке O

Устанавливается ортогональная рамка. В каждой точке M в районе точки O

Ортогональный каркас задается параллельным переносом по геодезической кривой OM.

Находим формы ω i, ω

j

я

, установка бесконечно малого смещения и вращения

При переходе от рамы в точке М к раме, соединенной с

бесконечно близкая точка M ′. Мы используем переменные a i, t, полагая, наконец,

Стр. Решебника 128

Нелинейные реализации групп симметрии 128

т = 1, а я = х я. Если мы положим a i = const и изменим t, кадр перейдет в

Параллельный путь

ω i = a i dt; ω

j

я ≡ 0.

Определим ¯ ω i ¯ ω

j

я

как значения вида ω i и ω

j

я

при dt = 0 и

Изменение i. потом

ω i (t, a i; dt, da i) = a i dt + ¯ ω i (t, a i; da i);

(4.3)

ω

j

я

(t, a; dt, da) = ¯ ω

j

я

(т, а я; да я).

(4.4)

Теперь определим форму ¯ ω i ¯ ω

j

я

Как функции от t, рассмотрим a i, da i как

Параметры. Отправной точкой следующих рассуждений являются уравнения

структуры пространства с нулевым кручением:

(ω

я

) ′ = Ω

к ∧ ω я

k;

(4.5)

(ω

j

я

) ′ = Ω k

я ∧ ω

j

K -

1

2

р

j

Ikl

ω k ∧ ω l.

(4.6)

Подставляя сюда ω i, ω

j

я

С выражениями (4.3), (4.4) и разделяя

термины, содержащие dt, получаем

[da i, dt] + [dt,

¯

∂ω

я

/ ∂ t] + d a ¯ ω i = [a k dt + ¯ ω k, ¯ ω i

k ]

[dt,

¯

∂ω

j

i / ∂ t] + d a ¯ ω

j

я

= [¯ ω k

i, ¯ ω

j

k ] - R

j

их

[a k dt + ¯ ω k ], a k dt + ¯ ω h ] / 2,

где d a обозначает дифференцирование по всем a i при условии t = const.

Сравнивая члены с множителем dt, получаем уравнения, которые Картан

названы фундаментальными:

∂ ¯ ω i

∂ t

= da i + a k ¯ ω i

k

(4,7)

∂ ¯ ω

j

я

∂ t = -

1

2

р

j

их

(a k ¯ ω h - a h ¯ ω k)

(4.8)

Стр. 129

Дифференциальные формы Картана

129

Решения этих уравнений при t = 1, a i = x i имеют следующие

форма:

ω i (x, dx) | t = 1 =

∞

∑ 1

(м п) я

К (-1) п

(2n + 1)!

dx k;

(4,9)

ω

я

j (x, dx) | t = 1 = -

∞

∑ 0

(м

п

)

л

Р (-1) п

(2n + 2)!

dx

п

р

я

Jkl x

k

,

(4.10)

Где

м

я

к ≡ R я

Nlk x

п

Икс

л

;

(м

2

)

я

Дж ≡ м я

K 1

м

K 1

j

.

Символически выражения (4.9), (4.10) можно записать

короче:

ω i (x, dx) = (sin √ m / √ m) я

k dx k;

(4.11)

ω

я

j (x, dx) = R

я

Jkl x

k

[(1 - cos

√ м) / м ] л

P dx

п

.

(4.12)

Для евклидова пространства R i

jkl ≡ 0 и формы Картана в нормальном

координаты:

ω ′ (x, dx) = dx i;

ω я

j ≡ 0.

Квадратный интервал длины между бесконечно близкими точками определяется как

выражение [ 2]

ds 2 = ω i (x, dx) ω i (x, dx) ≡ g ab (x) dx a dx b

(4.13)

в соответствии с геометрическим смыслом формы ω i. Группа транс-

формации пространства, сохраняющей квадратичную форму (4. 13) инвариантной, является

Называется группой движения риманова пространства.

Сформулируем связь со стандартными понятиями дифференциальной геометрии.

Метрический тензор и символы Кристоффеля. Для этого следует перейти к

натуральные рамки N a:

(N a, N b) = g ab;

Я я = е

а

i (x) N a;

е

а

Я е

j

а = δ ij;

е

ай

= e

а

Я,

Стр.130

Нелинейные реализации групп симметрии 130

Где

dr = N a (M) dx

а

,

(4.14)

Е а

i (x) - коэффициенты разложения форм Картана ω i (x, dx) по

дифференциалы dx a:

ω i (x, dx) = e i

А (х) дх а.

Законы изменения произвольного вектора A на естественном основании имеют вид

D (A i

I i) = (dA i + A j ω i

j) ≡ d (A a

N a) = dA a N a + A a d (e i

а я я) =

= [dA

б

+ А

а

(де

я

А е

б

я + е

я

а ω

я

J e

б

i)] N

j

= [dA

б

+ А

а

Γ

б

Ac dx

c

] N

j

,

Где

Γ b

ac dx c = (e b

Я де я

а + е б

я ω я

J e j

А).

Рассмотрим некоторую конечную непрерывную группу G, зависящую от n + r

параметры a 1, a 2,..., a n; η 1, η 2,..., η r. Можно рассматривать параметры a, η

как координаты точки A в n + r-мерном пространстве, называемом групповым пространством.

Латинские индексы используются для уведомления о значениях, связанных с генеральными

торцы X i и греческие с образующими Y α. Здесь a k, η α - параметры

группы; Y α - генераторы преобразований, принадлежащих суб-

Группа H; X k - генераторы, дополняющие H до полной группы G, id

Есть генераторы фактор-пространства G / H. Эти генераторы подчиняются алгебраической

Условия коммутации

[Y α, Y β ] = ı C

γ

αβ

Y γ;

[X k, Y α ] = ı C i

k α X i;

[X i, X k ] = ı C α

ik Y α

Генераторы группы можно рассматривать как аналог базисных векторов

Декартова система отсчета помещена в начало координат. Определение равенства

векторов в групповом пространстве позволяет ввести преобразование

Стр. Решебника 131

Дифференциальные формы Картана

131