Абсолютная и условная сходимость рядов

 

Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2), составленный из модулей его членов.

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, т.к.

и , то данный ряд сходится.

Ряд, составленный из модулей его членов  , по признаку Даламбера сходится, следовательно, данный ряд является абсолютно сходящимся.

           

Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд (2), составленный из модулей его членов, расходится.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, т.к.

и , то данный ряд сходится. Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:  Это гармонический ряд, который расходится. Следовательно, данный ряд является условно сходящимся.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов

 

Пусть дан знакопеременный ряд.

Признак Даламбера. Если существует предел , то при r<1 данный ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 - расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Признак Коши. Если существует предел , то при r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

 

 

Практическое занятие №30

Наименование занятия:    Нахождение области сходимости степенного ряда.

                                          Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Цель занятия: Научиться находить область сходимости степенных рядов, раскладывать элементарные функции в ряд Маклорена. Формировать ОК-1, ОК-2, ОК-5, ОК-9, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК-1.2 (спец. 09.02.03), ПК-1.2 (спец. 09.02.04).

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Теория рядов».

Литература:

1. Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

 

Задание на занятие:

Найти области сходимости степенных рядов

 

	1	2	3
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

 

1. Разложить в ряд Маклорена функции

 

	1	2	3	4
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Дать определение степенного ряда, области сходимости степенного ряда.
2. Как найти область сходимости ряда?
3. Какой ряд называется рядом Маклорена?
4. Как разложить функцию в ряд Маклорена?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Степенные ряды

 

Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

 

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при и расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках –1 и 1.

При х = –1 получим ряд:   Данный ряд сходится по признаку Лейбница

При х = 1 получим ряд:  Данный ряд расходится (гармонический ряд).

Теорема Абеля. Если степенной ряд  сходится при x = x ₁, то он сходится и притом абсолютно для всех .

Следствие. Если при х = х ₁ ряд расходится, то он расходится для всех .

 

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что  ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (- R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

 

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Пример 2. Найти область сходимости ряда

Решение. Находим радиус сходимости ряда

.

Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю.

 

Теорема. Если степенной ряд  сходится для положительного значения х = х ₁, то он сходится равномерно в любом промежутке внутри .