Дифференциальные уравнения высших порядков

 

       Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y^{( n)}:

       Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

       Решение  удовлетворяет начальным условиям , если

 

       Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши.

 

Уравнения, допускающие понижение порядка

 

       Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

Уравнения вида y^{( n)} = f(x)

 

       Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

…………………………………………………………….

 

 

Пример 1. Решить уравнение  с начальными условиями x₀ = 0; y₀ = 1;

           

Решение. Найдем сначала общее решение. Для этого проинтегрируем последовательно данную функцию, тем самым понижая степень производной.

Подставим начальные условия:

Получаем частное решение (решение задачи Коши):

.

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с

Постоянными коэффициентами

 

       Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

                                     (1)

Для отыскания общего решения данного уравнения сначала составляется характеристическое уравнение

                                     ,                                   (2)

которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции соответствующими степенями k, причем сама функция заменяется единицей. Затем решается уравнение (2) и в зависимости от характера корней k ₁ и k ₂ записывается общее решение.

1-й случай. Корни k ₁ и k ₂ действительные и различные (D >0).Тогда общее решение имеет вид:

2-й случай. Корни k ₁ и k ₂ действительные и равные (D =0), т.е. k ₁ = k ₂ = k. Тогда общее решение имеет вид:

3-й случай. Корни k ₁ и k ₂ комплексно сопряженные (D<0), т.е , .Тогда общее решение имеет вид:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Тогда общее решение будет выглядеть следующим образом:

 

       Пример 3. Решить уравнение

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

Тогда общее решение примет вид:

 

Пример 4. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее заданным начальным условиям ,

Решение. Сначала запишем и решим характеристическое уравнение . Его корни: Следовательно, общее решение имеет вид:

Далее, используя начальные условия, определяем значения постоянных С ₁ и С _2. Для этого подставим в общее решение заданные значения х = 0, у = 1; в результате получим одно из уравнений, связывающее С ₁ и С ₂:

1 = С ₁ + С _2.

Второе уравнение относительно С ₁ и С ₂ получим, продифференцировав общее решение:

и подставим в найденное выражение заданные значения х = 0 и :

-1 = С ₁ + 2 С _2.

Решив систему уравнений , получим С ₁ = 3, С ₂ = - 2.

Подставим найденные значения С ₁ и С ₂ в общее решение. Тогда искомое частное решение примет вид:

 

 

Практическое занятие №29

Наименование занятия: Исследование числовых рядов на сходимость

Цель занятия: Научиться исследовать на сходимость числовые ряды. Формировать ОК-1, ОК-2, ОК-5, ОК-9, овладеть знаниями и умениями, необходимыми для освоения ПК-1.2 (спец. 09.02.03), ПК-1.2 (спец. 09.02.04).

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Теория рядов».

Литература:

Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие: