Линейные однородные дифференциальные уравнения

 

       Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

.

       Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

;

 Общее решение:

           

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

 

       Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x) ¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод Бернулли

       Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций .

       При этом  - дифференцирование по частям.

 

       Подставляя в исходное уравнение, получаем:

       Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

       Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .

       Таким образом, можно получить функцию u, проинтегрировав полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

 

 

 

       Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение  с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

 

       Интегрируя, можем найти функцию v:

;        ;

       Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию.

       Подставляя полученные значения, получаем:

       Окончательно получаем формулу:

 

,    

где С₂ - произвольный коэффициент.

 

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

 

       Пример 1. Решить уравнение

Решение. Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:

Применим полученную выше формулу:

 

       Пример 2. Решить уравнение

 

Решение. Разделим уравнение на xy²:

Полагаем

.

Полагаем

Произведя обратную подстановку, получаем:

 

Практическое занятие №28

Наименование занятия: Решение дифференциальных уравнений высших порядков

Цель занятия: Научиться решать дифференциальные уравнения 2-го порядка. Формировать ОК-2, ОК-6, ОК-8.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения».

Литература:

Лобачева М.Е. Конспект лекций «Элементы высшей математики», 2010г.

Задание на занятие:

1. Найти общее решение уравнений

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
1
2
3
4
5
6

 

 

	Вариант 4	Вариант 5
1
2
3
4
5
6

 

1. Найти частное решение уравнений

Вариант 1

Вариант 2