Аппроксимация в среде пакета Matlab c использованием инструментария Curve Fitting Toolbox

Curve Fitting Toolbox-это пакет расширения Matlab для различных прикладных задач подгонки. Аппроксимации и интерполяции данных.

Включает в себя интерактивные средства предварительной обработки данных, сравнения стандартных моделей и разработки моделей пользователя, подгонки с помощью стандартных и робастных методов и анализа качества аппроксимации.

Особенности данного инструментария:

-графический интерфейс для создания моделей кривых и поверхностей;

-линейная и нелинейная регрессия на основе пользовательских уравнений;

-библиотека регрессионных моделей с оптимизированными начальными условиями и параметрами решателя;

-методы интерполяции, включая В-сплайны, сплайны на основе тензорного произведения и thinplate-сплайны;

-методы сглаживания, включая сглаживающие сплайны, локальную регрессию, фильтры Савицкого-Голея и скользящее среднее;

-процедура предварительной обработки, в том числе удаление выбросов, секционирование, масштабирование и умножение на весовые коэффициенты;

-процедура переработки, включая интерполяцию, экстраполяцию, доверительные интервалы, интегралы и производные.

В качестве рабочей модели берем ту же модель, которая использовалась при идентификации.

Мы снова переходим на панель Workspace и вводим команду «cftool», после чего переходим в открывавшееся окно:

Рис.8.Окно инструментария пакета Curve Fitting Toolbox.

В строке Interpolant ставим Custom Equation. В «X date» ставим tout, в «Y data» ставим y1.В графе Method ставим экспоненциальную зависимость, получаем следующее уравнение a-b*exp(-c*x) и «подгоняем» его под нашу зависимость. Т.о. получаем следующее:

f(x) = а*exp(-b*x)+c

Рис.9.Результаты аппроксимации Curve Fitting Toolbox.

Используя формулы, получаемые константы:

a=13

b=-13

с=0,07692

Итого мы имеем следующие коэффициенты для аппроксимации:

Таблица 3.Коэффициенты аппроксимации

С использованием инструментария Curve Fitting Toolbox.

K	T
13	13	6,5

 

Графо-аналитический метод.

Применим графический способ определения параметров передаточной функции.

Общий вид передаточной функции известен: . Время запаздываания было определено ранее. Передаточная функция без запаздывания будет выглядеть:  

Для этой передаточной функции известен общий вид переходной функции: .

Найдем производную данного выражения: .

Найдем первый предел полученного выражения: .

Исходя из геометрического смысла первой производной: . Где  – угол наклона касательной к переходной функции в точке ее начала.

Для применения графического метода на графике переходной функции сделаем дополнительные построения:              

 

Рис. 10. График переходной функции

Из графика следует:

В параметрическом виде передаточная функция запишется

Сведем полученные в результате идентификации данные в таблицу:

Таблица 4.Результаты идентификации

Методы идентификации	Параметры передаточной функции
	K	T
Применение Curve Fiting	13	13	6.5
Применение Identification Toolbox	13	12,9988	6.5
Графический метод	13	7,5	6.5

Анализ дисперсии

Проведем сравнение полученных результатов с исходными данными. Критерием сравнения считаем среднее квадратическое отклонение (СКО). Для того чтобы получить СКО, необходимо получить значение диссперсий для отклонения оценок передаточной функции от исходных данных. Дисперсия в непрерывном варианте расчитывается по формуле:  ; где: ;

Формула верна для стационарных, эргодических, центрированных случайных процесов. СКО расчитывается по формуле . Для дискретного процесса с постоянным тактом дискретности дисперсия будет расчитана по формуле: .

Для расчета СКО построим S-модель.

Рис. 11. S-модель вычисления средних квадратических отклонений.