Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Задача Коши для ДУ 1-го порядка состоит в следующем: из общего решения требуется выделить такое решение уравнения (22), которое удовлетворяет начальному условию: где заданная точка плоскости XOY. Условия существования и единственности решения задачи Коши сформулированы в следующей теореме. Теорема. Если функция определена и непрерывна в некоторой области D на плоскости XOY, а частная производная ограничена в этой области, то каковы бы ни были числа такие, что точка найдётся единственная функция являющаяся решением уравнения (22), непрерывно дифференцируемая на некотором промежутке, содержащем точку x 0, и такая, что Пример. Определить тип ДУ и решить задачу Коши Решение. Для определения типа ДУ выразим из уравнения : Внесем х под знак корня, возведя его в квадрат: В подкоренном выражении поделим почленно числитель на знаменатель и получим: (32) Итак, привели уравнение к виду По таблице ДУ (см. прил. III) определяем, что уравнение однородное и решается заменой Сделаем замену в уравнении (32): учтём, что Используя формулы 12 и 4 таблицы интегралов, получаем: Произвольную постоянную интегрирования выразили в виде что позволяет, используя свойства логарифмов, записать общее решение Учитывая выполненную замену получаем – общее решение ДУ в неявном виде, т.е. общий интеграл. Найдём такое решение, которое удовлетворяет начальному условию у (3) = 4. Для этого подставим в общий интеграл и найдём значение постоянной С: Итак, нашли значение постоянной С, при котором решение ДУ будет удовлетворять указанному начальному условию. Решение задачи Коши запишем, подставив в общий интеграл найденное значение постоянной С:
3.6. Ломанные Эйлера и понятие о приближённом методе Рассмотрим ДУ , и пусть D – область определения функции , в которой выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. К одному из способов приближённого решения ДУ приводит геометрическая интерпретация уравнения.
А именно, построив поле направлений, мы всегда можем приближённо построить интегральную кривую. Но можно поступить иначе. Пусть точка Проведём через эту точку прямую с угловым коэффициентом, равным и выберем на этой прямой произвольно точку Через эту точку М 1 проведём прямую с угловым коэффициентом, равным и выберем на этой прямой произвольно точку и так дальше. Аналогичное построение проведём в другую сторону от точки М 0. В результате получим ломанную линию М 0 М 1 М 2… (рис. 12), каждое звено М k-1 М k которой совпадает с касательной к интегральной кривой в точке М k-1, поэтому эта ломанная (она называется ломанной Эйлера) даёт приближённое представление об интегральной кривой. Это представление тем точнее, чем короче звенья ломанной. Можно показать, что в пределе, при неограниченном увеличении звеньев ломанной и уменьшении длин каждого звена, ломанная Эйлера совпадёт с интегральной кривой.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-27; просмотров: 74; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.84.155 (0.006 с.) |