Замена переменной в определённом интеграле

Теорема (о замене переменной в определённом интеграле). Пусть функция y = f (x) непрерывна на [ a, b ]. Если функция  имеет непрерывную производную на отрезке  при  значение функции  и, кроме того, то справедлива формула

                                  (9)

Алгоритм замены переменной в определённом интеграле:

1. Старую и новую переменные связать соотношением ;

2. Найти связь между дифференциалами переменных x и t:

3. Определить новые пределы интегрирования α и β из уравнений

4. В искомом интеграле перейти к новой переменной по формуле (9) и заменить пределы интегрирования. Проинтегрировать и вычислить по формуле Ньютона–Лейбница (8).

Пример. Вычислить определённый интеграл

Решение.

 

Интегрирование по частям в определённом интеграле

Формула интегрирования по частям (3) в случае определённого интеграла приобретает вид:

                       (10)

Пример. Вычислить определённый интеграл

Решение.

 

Приложения определённого интеграла

Определённый интеграл используется в различных приложениях: при вычислении площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых, объемов тел вращения, площадей поверхностей вращения, работы переменной силы на отрезке, пути, пройденного за промежуток времени, статических моментов и моментов инерции плоских дуг и фигур и т. д.

Площади плоских фигур

Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Теорема. Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями , где  для всех , и прямыми

, , то её площадь вычисляется по формуле:

                            (11)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

 

Рис. 1	Рис. 2

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы найдём координаты её вершины  и направим верви параболы вверх. Для построения прямой достаточно двух точек, например  и .

Площадь S фигуры, ограниченной обеими линиями (она отмечена на рис. 2 штриховкой) вычислим согласно формуле (11). Для определения нижнего и верхнего пределов интегрирования в этой формуле составим и решим уравнение  Итак, имеем

Площадь полученной фигуры найдем по формуле (11), при  (поскольку  для всех ), получаем:

Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, заданными

Параметрически

    Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой, заданной параметрически уравнениями  где функции  и  имеют непрерывные производные для всех , и функция y (t) сохраняет знак на промежутке  прямыми x = a, x = b, где a = x (t ₀), b = x (t ₁),  и осью OX,  вычисляется по формуле:

                          (12)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически:

Решение.

Для построения фигуры составим таблицу значений координат (x, y)

точек кривой, соответствующих различным значениям параметра

t	0
x	2	0	–2	0	2
y	0	3	0	–3	0

 

Рис. 3

Нанесём точки (x, y) на координатную плоскость XOY и соединим их плавной линией. Когда параметр изменяется от  до , соответствующая точка  описывает эллипс (известно, что  – параметрические формулы, задающие эллипс с полуосями a и b). Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей OX и OY, найдём её площадь S, умножив на 4 площадь криволинейной трапеции AOB. Согласно формуле (12) получим:

Заметим, что для вычисления площади по формуле (9), построение чертежа не является обязательным, а носит иллюстративный характер.

Длина дуги плоской кривой