Определённый интеграл, теорема его существования

   

Рассмотрим функцию , которая непрерывна на отрезке [ a,b ]. Выполним следующие операции:

1. Отрезок [ a,b ]  разобьём точками  на n произвольных частей и обозначим длины отрезков

2. Внутри каждого отрезка  возьмём произвольную точку С _i  и вычислим в ней значение функции  Составим сумму произведений значений функции  на  

                                       (5)

называемую интегральной суммой для функции  на отрезке [ a,b ].

3. Обозначим  длину наибольшего из отрезков разбиений , т.е.,  В равенстве (5) перейдём к пределу при :

                                    (6)

Определение. Если существует конечный предел при  интегральной суммы, составленной для функции  на отрезке [ a,b ], не зависящий ни от способа разбиения [ a,b ] на части, ни от выбора произвольной точки С _i внутри каждого частичного отрезка разбиения, то этот предел называется определённым интегралом от функции на отрезке [ a,b ]. Обозначение определённого интеграла:

                              (7)

При этом а называется нижним пределом, а b   верхним пределом интегрирования.

Если функция  непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a,b ], то определённый интеграл от функции на этом отрезке имеет геометрический смысл. Приведём геометрическую интерпретацию определённого интеграла.

Определение. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу отрезком [ a,b ] оси ОХ и двумя прямыми х=а и х=b, параллельными оси О Y.

Можно показать, что площадь криволинейной трапеции с основанием [ a,b ] и ограниченной сверху графиком функции , непрерывной и неотрицательной на отрезке [ a,b ], равна определённому интегралу от функции  на этом отрезке, т.е.:

Теорема (существования определённого интеграла). Если функция  непрерывна на отрезке [ a,b ], то существует определённый интеграл от этой функции на отрезке [ a,b ].

Свойства определённого интеграла

               

Замечание. Свойство 3 справедливо при любом расположении точки с по отношению к а и b при условии интегрируемости функции f (x) на большем из отрезков.

6) Если  для всех , то

7) Если  для всех , то справедлива оценка

8) Теорема (о среднем значении функции на отрезке). Если функция  непрерывна на отрезке [ a,b ], то между точками а и b найдётся точка х = с, такая что

Определение. Средним значением функции  на отрезке [ a,b ] называется величина

 

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема (о производной от интеграла с переменным верхним пределом). Пусть функция  непрерывна на [ a,b ], тогда  производная от определённого интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции на этом верхнем пределе:

Доказательство. Обозначим  Придадим переменной х приращение  тогда  получит приращение   где с – некоторая точка между х и  По определению производной  имеем  причём последнее равенство справедливо ввиду непрерывности функции

Следствие.  первообразная для функции .

Теорема (формула Ньютона–Лейбница). Если функция  непрерывна на отрезке [ a,b ], то справедлива формула

                                   (8)

где  любая первообразная для функции , т.е.,

Доказательство. По следствию из предыдущей теоремы  первообразная для функции . По теореме о первообразной для данной функции любая другая первообразная  отличается от  на постоянное слагаемое:

 При  получим  с другой стороны, по свойству 2 определённого интеграла , следовательно,  и   При  имеем

Пример. Вычислить определённый интеграл

Решение.