Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовых

Координатах

Если кривая задана уравнением , функция  имеет непрерывную производную при всех , то длина дуги  (рис. 4) этой кривой, заключённой между точками  и

Рис. 4

 вычисляется по формуле:

        (13)

 

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана параметрически , и функции  имеют непрерывные производные при всех , то длина дуги , соответствующей изменению параметра от  до , вычисляется по формуле:

                 (14)

Пример. Найти длину дуги кривой

а) б)

Решение.

а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением

, то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (13). Найдём     и подставим в (13):

б) Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (14). Найдём : и подставим в (14):

             

Вычисление объёмов тел вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми ,  (рис. 5), то его объём вычисляется по формуле:

                             (15)

Рис. 5	Рис. 6

Пример. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 6).

Чтобы получить искомый объем тела вращения, из объема  тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем  тела, полученного вращением фигуры ОАВ: . По формуле (15) найдём  и :  (ед. объёма);

 (ед. объёма);

(ед. объёма).

 

Несобственные интегралы

Определение. Несобственными интегралами называются интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода) и интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода).

Пусть функция  определена и непрерывна на полусегменте  Возьмём любое  и рассмотрим интеграл  

Определение. Если существует конечный предел  то этот предел называется несобственным интегралом от функции на интервале  и обозначается  Говорят, что в этом случае несобственный интеграл существует или сходится. Если при интеграл  не имеет конечного предела, то говорят, что интеграл  не существует или расходится.

Геометрический смысл несобственного интеграла  состоит в том, что при для всех  он выражает площадь неограниченной области, заключённой между линиями  и осью ОХ.

Аналогично определяются несобственные интегралы на промежутках

 где с – любая точка на интервале  причём  существует, если сходятся оба интеграла в правой части, и расходится, если расходится хотя бы один из них.

Рассмотрим, как вычисляются несобственные интегралы 1-го рода.

где  первообразная для , т.е.

Аналогично,  и

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Решение.

Значит, интеграл сходится и его величина равна

Рассмотрим несобственные интегралы 2-го рода. Пусть функция  имеет бесконечный разрыв в точке  и непрерывна при  и  тогда полагают, что несобственный интеграл определяется формулой:

                        (16)

При этом несобственный интеграл называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.

Геометрический смысл несобственного интеграла  состоит в том, что при  для всех  он выражает площадь неограниченной области, заключённой между линиями  и осью ОХ.

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Решение. Интеграл  является несобственным интегралом 2-го

рода, так как промежуток интегрирования содержит точку бесконечного разрыва поэтому согласно формуле (16):

 несобственный интеграл расходится.