Кинематика материальной точки

Материальной точкой называется тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь, так как проходимые телом расстояния значительно превышают его параметры. Траектория – линия в пространстве, по которой движется точка. Путь – длина траектории, обозначается как S, [ м ] (измеряется в метрах). Перемещение – вектор, соединяющий начальное и конечное положения материальной точки, обозначатся как ∆ r, [ м ]. Скорость v, [ м/с ] - путь, проходимый телом за единицу времени. Ускорение а, [ м/с ²] – физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости с течением времени. Если тело ускоряется а>0, если замедляет скорость a<0.

При равномерном прямолинейном движении: a = 0; v =  const.; S =  v ×  t

При равнопеременном прямолинейном движении: a =  const.; v =  v 0 ±  at; s =  v 0 t   ±

v ² - v ²

s =   0  . Здесь «+» означает ускоренное движение, «-»-замедленное.

± 2 a

a × t ²

2;

При свободном падении:             Здесь «-» означает движение вниз; «+» - движение вверх.

2

При движении по окружности радиуса R: центростремительное ускорение a =  v;

R

угловая скорость

w   =   v

R

; период

T =  2 pR.

v

Принцип сложения скоростей заключается в том, что скорость тела относительно неподвижной системы отсчета     равна сумме скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной и скорости тела относительно движущейся  системы отсчета : . При решении задач необходимо учитывать векторный характер скорости, проектируя последнее уравнение на выбранную ось координат.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ПО КИНЕМАТИКЕ

Пример 1. Мотоциклист, выехав из пункта А, движется по сети автомобильных дорог, схема которых представлена на рисунке, в направлении, указанном стрелкой. Длины участков дорог составляют: АВ = 8 км; ВС = 6 км; АС = 10 км. Мотоциклист последовательно проходит участки АВ, ВС, СА, АВ. Найти: а) путь мотоциклиста; б) его перемещение.

Решение: По определению путь – длина траектории и в данном случае                           S = АВ + ВС + СА + АВ = 8 + 6 + 10 + 8 = 32 км.

Перемещение – вектор, соединяющий начальное и конечное положения материальной точки. Это точки А (начальная) и В (конечная). Модуль вектора перемещения АВ = 8 км.

Пример 2. Тело набирает скорость с ускорением а = 4 м/с ². Какой путь пройдет тело за время t = 8 с, если его начальная скорость равна v₀ =5 м/с?

a × t ²

Решение: Используем формулу

s = v 0 t ±

2.Выбираем«+», так как движение

 

ускоренное.

Пример 3. Тело, двигавшееся со скоростью 20 м/с, начинает тормозить с ускорением

а =4 м/с ².Найти скорость тела в момент времени t = 3 с.

Решение: Используем формулу v =  v ₀ ±  at. Выбираем «-», так как движение замедленное. Тогда

Пример 4. Поставлены две задачи:

1) рассчитать маневр стыковки двух космических кораблей;

2) рассчитать пути, проходимый космическими аппаратами от Земли до Луны по различным траекториям.

В каком случае космические корабли можно рассматривать как материальные точки? Решение: Космические корабли можно рассматривать как материальные точки только во втором случае, поскольку расстояния, проходимые кораблями, во много раз превышают их размеры. Решая первую задачу нельзя не учитывать размер космического аппарата.

Пример 5. Человек спускается по движущемуся вниз эскалатору. Скорость эскалатора относительно Земли u = 0,5 м/с; скорость человека относительно эскалатора = 1 м/с. Найти скорость человека относительно поверхности Земли.

Решение: Свяжем неподвижную систему отсчета с поверхностью Земли, а подвижную систему отсчета – с эскалатором. Используем формулу . Направим ось х вдоль эскалатора в сторону движения человека. Тогда проекции всех скоростей на эту ось – положительные. Получим:                                                            = 0,5+1 = 1,5 м/с. Замечание: если бы человек побежал вверх по движущемуся вниз эскалатору, то, при условии, что ось Оx направлена в сторону

движения человека, мы бы получили формулу:

 

ДИНАМИКА И ГИДРОСТАТИКА

Инерциальные системы отсчета покоятся или движутся равномерно и прямолинейно относительно других инерциальных систем отсчета (Земли).

Первый закон Ньютона: Если равнодействующая сила   , то тело движется равномерно и прямолинейно или находится в состоянии покоя. Под равнодействующей силой понимают векторную сумму всех сил, действующих на тело  Закон выполняется в инерциальных системах отсчета.

a ^2 + a ^2

x      y

Второй  закон Ньютона: . При решении задач нужно выбрать оси координат и записать второй закон Ньютона в проекциях на эти оси:

ì F 1 x + F 2 x + L

= ma x

,

a =         .

í F + F + L = ma

î  1 y      2 y                     y

Силы:

· реакции опоры N;

· тяжести   ;

· упругости F_упр = k·х (х =Δl= l – l₀ – деформация, k – жесткость пружины );

· трения F_тр = m× N (N – сила реакции опоры; m - коэффициент трения);

· вес тела P =  N (сила, с которой тело действует на опору);

 

· гравитационная сила (Всемирного тяготения)                      .

· сила Архимеда

части тела).

F A = r ж × V погр × g

(ρ_ж – плотность жидкости; V_погр – объем погруженной

y N

a

F тр

F

x

mg

Если тело движется по шероховатой плоскости с ускорением   (см. рисунок) под действием постоянной силы тяги (F), на него также действуют силы трения (F_тр), тяжести (mg) и реакции опоры N, то в проекциях на оси х и у можно записать:

 

Третий закон Ньютона: тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению.

 

Связь массы, плотности и объема:

m =  r   × V,

 

давление:

p = F

S

, гидростатическое давление:

p = r _ж

· g × h

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ПО ДИНАМИКЕ

Пример 1. На тело массой m = 3 кг действуют две силы F₁ = 18 Н и F₂ = 9 Н, направление которых показано на рисунке. Найти направление и величину ускорения тела.

Решение: По второму закону Ньютона

Направим ось Ох горизонтально вправо (в сторону большей силы). Спроектируем предыдущее выражение на ось Ох. Получим:                                          Тогда  Ускорение направлено в сторону большей по величине силы (вправо).

Пример 2. Тело движется под действием двух горизонтальных постоянных сил F ₁ = 10 Н и F ₂ = 20 Н. Направление сил и скорости тела v в некоторый момент времени показано на рисунке. Каков характер движения тела в этот момент?

v d                            Решение: Согласно второму закону Ньютона                (см.

F 2

F 1

X

решение предыдущей задачи). Поскольку       тело обладает ускорением, направленным в сторону большей по величине силы (вправо). Таким образом, тело движется  с

ускорением. Заметим, что направления скорости и ускорения совпадают, следовательно, ускорение способствует увеличению скорости и характер движения ускоренный.

Пример 3. Тело массой m = 2 кг падает под действием силы тяжести. На тело также действует сила сопротивления воздуха, равная 2 Н. Каково ускорение тела?

Решение: Сделаем чертеж. Учтем, что сила сопротивления направлена

против скорости тела. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на                            ось х и выразим ускорение:

 

Ускорение направлено вниз.

Пример 4. Под действием равнодействующей сил F = 10 Н тело движется с ускорением а = 2 м/с². Найти массу этого тела.

Решение: По второму закону Ньютона

Пример 5. Груз массой m = 0,2 кг висит на пружине жесткостью k = 100 Н/м. Каково удлинение пружины? (Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с²).

Решение: На груз действуют две силы - сила упругости         и сила тяжести mg, которые уравновешивают друг друга, т.е.          . Выразим удлинение x:   м

= 2 см.

Пример 6. Земля притягивает к себе висящее на ветке яблоко c силой 0,4 Н. С какой силой это яблоко притягивает к себе Землю?

Решение: Согласно третьему закону Ньютона, тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Следовательно, яблоко притягивает к себе Землю с силой 0,4 Н.

Пример 7. Плотность тела ρ _т = 2700 кг/м³. Что будет происходить с телом при погружении его в жидкость плотностью ρ_ж = 1000 кг/м³?

Решение: В момент полного погружения на тело действуют две силы: сила тяжести mg = ρ_т g∙V, направленная вниз, и сила Архимеда F =ρ_ж∙g∙V, направленная вверх_. Если mg>F (ρ_т g∙V>ρ_ж∙g∙V,ρ_т>ρ_ж), то тело тонет и в результате оказывается на дне сосуда; если mg<F (ρ_т<ρ_ж), то тело всплывает и плавает на поверхности жидкости, частично погрузившись в нее; если mg=F (ρ_т =ρ_ж), то тело находится в состоянии безразличного равновесия: не тонет и не всплывает (в этом случае оно может плавать и вблизи поверхности и вблизи (не касаясь) дна, полностью погрузившись в жидкость). Поскольку в нашем примере ρ_т>ρ_ж (2700>1000), то правильным ответом будет тело утонет и будет лежать на дне сосуда.

 

 

Импульс тела