Занятие III . Соотношения на корни квадратного трехчлена

Цель: отработка навыка применения теоремы Виета при решении задач; формирование умения записывать на математическом языке условие задачи, умения анализировать, обобщать, находить рациональный способ решения задачи.

Ход занятия:

Организационный момент.

2. Разбор домашнего задания.

В №1-3 устно проверяется идея решения и называются ответы. Те, кто не справился с решением какой-то задачи, должны обратиться за помощью к тем, у кого решение выполнено верно, и исправить свои ошибки.

Учащимся предлагается показать найденное решение №4. Задача подробно разбирается, анализируется.

3. Решение задач.

3.1. При разборе №4 из домашнего задания делается вывод, как выполнять задания на соотношения между корнями квадратного уравнения, а именно: чтобы найти все значения параметра а, при которых корни уравнения Ax + B х+ C = 0 удовлетворяют некоторому соотношению G (, , a)=0 (соответственно, G (, , a) 0 или G (, , a) 0), достаточно найти все значения а, удовлетворяющие условиям:

 

 

(для G(, , a) 0 или G(, , a) 0 получаем соответствующие неравенства вместо третьего уравнения системы).

3.2. Совместное выполнение задания:

При каких значениях  сумма квадратов корней уравнения  равна 4?

При выполнении задания необходимо выразить через коэффициенты уравнения сумму квадратов корней уравнения; найти а; проверить существование корней, подставив полученные а в данное уравнение.

3.3. Выполнение заданий в парах.

Каждое предложенное задание сначала обсуждается в парах. Затем происходит всеобщее обсуждение решения. Найденное решение одним из учеников записывается на доске.

1. Найти все значения , при которых корни уравнения  удовлетворяют условию .

2. При каких значениях  сумма квадратов корней уравнения  является наименьшей? Чему равна эта сумма?

В следующих задачах используется такое соотношение между корнями, которое непосредственно не выражается через коэффициенты. В этом случае составляем систему, где два уравнения — формулы Виета, а третье — заданное соотношение. При решении такой системы корни уравнения обычно находятся, поэтому специально проверять их существование не надо.

3. При каких а разность корней уравнения  равна 14?

4. При каких значениях параметра k произведение корней уравнения х²+3х+(k ² -7 k +12)=0 равно 0?

5. При каких а разность корней уравнения 2х² - (а + 1)х + (а - 1) =0 равна их произведению?

Дополнительные задания:

6. В уравнении х²-2х+а=0 квадрат разности корней равен 16. Найти а.

7. Известно, что корни уравнения х²-5х+4=0 на 1 меньше корней уравнения х²-7х+3а-6=0. Найти а и корни каждого из уравнений.

8. Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения 2х²-7х-3=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа х₁-2 и х₂-2.

Подведение итогов занятия.

- Что нужно сделать, чтобы решить задачу на соотношение на корни квадратного уравнения?

Учащиеся в паре оценивают работу друг друга по пятибалльной шкале. Также учитель ставит по одному баллу наиболее активным учащимся.

5. Постановка домашнего задания

Задания, обязательные для выполнения:

1. В уравнении х²-4х+а=0 сумма квадратов корней равна 16. Найти а.

2. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х²+(2-р)х-р-3=0 равна квадрату разности корней этого уравнения?

3. Определить а таким образом, чтобы корни уравнения 2х²+(2а-1)х+а-1=0 удовлетворяли соотношению 3х -4х =11.

Дополнительные задания:

4. Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения 2х²-7х-3=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2х₁+3 и 2х₂+3_.

5. Не вычисляя корней уравнения 3х²+8х-1=0 найти х₁х₂³+х₂х₁³.

6. При каких значениях р и q корни уравнения х²+рх+ q =0 равны 2р и ?

Литература: [5], [16], [25], [29], [33].