Решение задач с помощью метода координат

Замечания.

1). Если

2). Если в задаче требуется найти тангенс угла, то можно найти косинус угла, затем синус угла (по основному тождеству) и вычисляем тангенс.

        

 

 1.

Что бы найти угол между прямыми АВ и РК, надо выбрать направляющие вектора  и , задать их координаты по формуле

            

           

найти угол между векторами  и  по формуле

          

    Угол между прямыми всегда острый и косинус угла между ними всегда положительный. Поэтому косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между векторами

=

 

        2.Нахождение угла между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Нормаль – это вектор перпендикулярный к данной плоскости - .

Что бы найти угол между прямой АВ и плоскостью , надо задать направляющий вектор  и вектор , перпендикулярный к плоскости

BH – перпендикуляр к плоскости ,

АВ – наклонная, АH – проекция АВ на плоскость ,

угол между прямой АВ и плоскостью

 угол между прямой АВ и перпендикуляром BH

                

Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором и нормалью к плоскости.

Пусть и

Находим 

 будет равен модулю этого выражения (без знака минус)

 

3. Нахождение угла между плоскостями.

Чтобы найти угол между плоскостями при помощи метода координат, надо найти угол между двумя нормалями к этим плоскостям.

Пусть надо найти угол между плоскостями .

 Вектор

 

 

  Как определить координаты нормали(перпендикуляра)к плоскости.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащих в этой плоскости.

и  –два направляющих вектора, лежащих в плоскости ,

 плоскости ,

 числа,  – неизвестные.

                                                                                                   

                    B                                                              и

                                                                                          

A                                                        C                          

    Что бы решить систему двух уравнений с тремя неизвестными, надо выразить два неизвестных через третье и подставляем произвольное значение этого неизвестного в два других.

Пример решения задач методом нормалей

Дан куб. Точка Е- середина . Найти угол между плоскостями AEF и BC .     

                                               

                                                 

       E                                                         BC  

                F                                AEF,

                                                                             

                B                              C         

A                                 D                 

 

       

 Выражаем x и y через z      

Пусть z=1, тогда и

=

=

              

  Тренажер 2.3.1. Решение задач с помощью метода координат

1. В кубе найти косинус угла между прямыми AE и BF, если точка E –середина F – середина

2. В правильной треугольной призме  все ребра равны. Найти косинус угла между прямыми AВ и

3. В правильной шестиугольной призме все ребра равны. Найти косинус угла между прямыми A  и

4. В правильной треугольной пирамиде SABC все ребра равны.  M – середина АС,  N – середина СВ. Найти угол между прямыми AN и

5. В правильной четырехугольной пирамиде SABC  все ребра равны.

        Е – середина SB,  F – середина SС. Найти угол между      прямыми AE и

6. В кубе  Е – середина  Найти синус угла между прямой АЕ и плоскостью В .

7.  В прямоугольном параллелепипеде  Е – середина АВ и  – середина А  Найти тангенс углf между прямой Е  и плоскостью А .

8.  В правильной шестиугольной призме все ребра равны.  – середина . Найти синус угла между прямой АК и плоскостью В .

9. В правильной шестиугольной пирамиде  сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найти синус угла между прямой АС и плоскостью А . 

10. В кубе  E –середина F –  середина Найти тангенс угла между плоскостями и

11. В прямоугольном параллелепипеде  А  Найти косинус угла между плоскостями С В .

12. В кубе  E – середина  F - середина Найти угол между плоскостями  и

 

Справочный материал.   

    

       Основные формулы планиметрии

Треугольник

                                                                  Прямоугольник                                Параллелограмм                                                                                                                                

                                 

 

 

                  

                       Ромб                             

                                    

 

                          

                         Трапеция                                

                                                                

                                                                          

           Круг и его части

                                                                                                  Большой и маленький радиусы

                                                                                                                               

                  

  Правильные многоугольники                       

Треугольник                                              Квадрат                  Шестиугольник                   

                 

                   

                                                                                                               

                                          

                                                           

 

Решение треугольников

 

 

Основные теоремы и опорные задачи по планиметрии

                                                                                                                                                                           

                                                                    

                                                                                

                                                        Пифагоровы тройки: 3, 4, 5    6, 8, 10    5, 12, 13  

                                                                                                                                                                              

      

                                      МСВ=                                     

                                                                          

                                                                А              

                              ВЕ и С D – медианы      а) если MN - средняя линия, то

                                                                                 MN =  A С MN

  

                                                             

                                                                                     б) если PK АС

                                                                                                                       

                                                                                                              

                                                       А                                  D 

если AK –биссектриса, то          

AB =BK                                    AB + CD = BC + AD =                         

                                                    

                                                                    ОО                                           

                           С

А

                             если АВ – диаметр, то   

                                                                                                                                                                                                  

                                                          

             

                                                    

C М                                               

                                                                                              B                           C

C                            B           D                    A                         D

                                             
                                            

                                       

                

          

Основные формулы стереометрии

       Прямая призма                                   Правильная пирамида                             

                                                                       

       Наклонная призма                           Цилиндр                                                       

                                                                                                                                                                                                

        Прямоугольный пар-д                                        Конус

                                         

                  Куб                                     Усеченная пирамида

                                   

                                              

                                                         

                                                                                    Усеченный конус

                                                    

            Сфера                            Вписанные и описанные многогранники                    

                                        

    Уравнение сферы                                                 Уравнение прямой                                      

               у = k x + b, где   

координаты центра сферы               

                                                                                     

                 Метод координат

 

- длина отрезка

      - координаты середины отрезка

- координаты вектора

- длина вектора

      -   скалярное произведение векторов

- с калярное произведение векторов

-   косинус угла между векторами    

            Значение тригонометрических функций углов

	0
	0	30	45	60	90	120	145	150	180	270	360
	0				1				0	-1	0
	1				0				-1	0	1
	0		1		не сущ.		-1		0	не сущ.	0
	не сущ.		1		0		-1		не сущ.	0	не сущ.

                         

Вопросы для повторения курса геометрии за 7-9 класс.

 

1. Определение и свойство  смежных и вертикальных углов.

2. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей.

3. Свойство биссектрис смежных углов.

4. Свойство серединного перпендикуляра.

5. Свойство биссектрисы угла.

6. Перпендикуляр, наклонная, проекция и их свойства.

7. Определение и свойства равностороннего треугольника.

8. Определение и свойства равнобедренного треугольника.

9.  Определение и свойства средней линии треугольника.

10.  Определение и свойство внешнего угла треугольника.

11.  Теорема о неравенстве в треугольнике.

12.  Связь углов и сторон в треугольнике.

13.  Сумма углов в треугольнике.

14.  Признаки равенства треугольников.

15.  Формулы площади и высоты равностороннего треугольника.

16.  Формулы площади и высоты, опущенной на гипотенузу в прямоугольном треугольнике.

17.  Формулы площади и высоты равнобедренного треугольника.

18.  Формула площади треугольника через высоту и основание.

19.  Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними.

20.  Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности.

21.  Формула площади треугольника через радиус описанной окружности.

22.  Формула Герона.

23.  Теорема синусов.

24.  Теорема косинусов.

25.  Формула для нахождения угла треугольника, если известны три его стороны.

26.  Связь стороны треугольника, его угла и радиуса описанной окружности.

27.  Свойство острых углов прямоугольного треугольника.

28. Теорема Пифагора. Пифагоровы тройки.

29.  Прямоугольного треугольник с углом 30 .

30.  Прямоугольного треугольник с углом 45 .

31.  Тригонометрические функции углов в прямоугольном треугольнике.

32.  Свойства высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

33.  Определение подобных фигур, сходственные стороны и коэффициент подобия.

34.  Признаки подобия треугольников.

35.  Свойства периметров и площадей подобных фигур.

36.  Как вписать в треугольник окружность?

37.  Как описать около треугольника окружность?

38. Формулы радиусов вписанной и описанной окружности в разностороннем треугольнике.

39.  Формулы радиусов вписанной и описанной окружности в равностороннем треугольнике.

40.  Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике.

41.  Определение и свойство медианы в т