Тренажер 1.   Задачи к разделу «Геометрические фигуры».

1. В прямоугольном треугольнике с катетами 5 и 12 найти гипотенузу, медиану и высоту, проведенные к гипотенузе и площадь треугольника.

Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

2. В треугольнике АВС проведены медианы точка пересечения медиан. ВО = 4, О  Найти длины медиан.

3. В прямоугольном треугольнике АВС  гипотенуза равна 10. Найти катеты и площадь треугольника.

4. В прямоугольном треугольнике АВС катет СВ равен , Угол, лежащий против этого катета, равен 30 . Найти периметр треугольника.

5. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса АК. AB = 5, KC = 2. Найти периметр параллелограмма.

6. В треугольнике АВС проведена средняя линия MN. а) Периметр треугольника АВС равен 8. Найти периметр треугольника MBN.

б) площадь треугольника MBN равна10. Найти площадь треугольника АВС.

7. В треугольнике АВС проведена прямая РК параллельно стороне АС. ВК = 3, КС = 6. Площадь треугольника АВС равна 27. Найти площадь треугольника РВК

8. В треугольнике АВС проведена биссектриса В . АВ = 8, ВС = 4, = 2. а)Найти сторону АС. б) Площадь треугольника АВ  равна 16. Найти площадь треугольника В

9. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС катет равен 4. Найти гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.

10.  В трапеции основания равны 9 и 3. О –точка пересечения диагоналей трапеции. Площадь треугольника АОD равна 18. Найти площадь треугольника ВОС.

11. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол А равен , угол В равен 110 . Найти остальные углы.

12.  В трапецию вписана окружность. Боковые стороны равны 12 и 8. Найти среднюю линию трапеции.

13.  В окружность вписана равнобедренная трапеция. Один из углов трапеции равен 40  Найти остальные углы.

14.  В равнобедренную трапецию вписана окружность. Боковая стороны равна 10. Найти периметр трапеции.

15.  В четырехугольник вписана окружность. Две противоположенные стороны равны 9 и 3, третья сторона равна 8. Найти четвертую сторону.

16. На окружности поставлены три точки А, В и С, так что АВ: ВС: АС = 1: 3: 5. Через точку С проведена касательная к окружности. Найти угол АСВ и угол между касательной и хордой АС.

17.  Из точки М к окружности проведены две касательные. А и В – точки касания. О –центр окружности. Дуга АВ, заключенная между касательными равна 70 Найти угол АМВ.

18.   В окружность вписан прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найти длину и площадь окружности.

19.  В равнобедренном треугольнике основание равно 6, а боковая сторона равна 5. Найти площадь треугольника и радиусы вписанной и описанной окружности.

20.   В треугольнике две стороны равны 15 и 8, а угол между ними равен 60 . Найти третью сторону треугольника и его площадь.

21.  В треугольнике АВС АВ = 8, АС = 15, ВС = 13. Найти угол А.

 

22.   В треугольнике АВС угол В равен 30 . Радиус описанной окружности равен 6. Найти сторону АС.

23. В равностороннем треугольнике сторона равна 6. Найти высоту, площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей.

24. В квадрате со стороной равной 4 найти диагональ, площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей.

25.  В правильном шестиугольнике со стороной равной 9 найти диагональ, площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей.

26.   В треугольнике две стороны равны 5 и 6, и угол, заключенный между ними равен 45 . Найти площадь треугольника и высоту, опущенную на сторону, равную 6.

27.  Стороны треугольника равны 13,14 15. Найти площадь треугольника.

28. В ромбе одна диагональ равна 12, а сторона равна 10. Найти площадь ромба и радиус вписанной окружности.

29.  Диагональ прямоугольника равна 13, одна из сторон равна 5. Найти вторую сторону, площадь прямоугольника и радиус описанной окружности.

30. Диагональ квадрата равна 8. Найти сторону, площадь квадрата и радиусы вписанной и описанной окружностей.

31.  В ромбе сторона равна 6, а острый угол 60  Найти диагонали ромба и его площадь.

32.  В окружности центральный угол, опирающийся на дугу АВ равен 60 , а радиус окружности равен 6. Найти хорду АВ и площадь сектора АОВ.

33.  Сторона шестиугольника ABCDEF равна 6. Найти диагонали шестиугольника ВЕ и СЕ и его площадь.

34.  В равнобедренной трапеции основания равны соответственно 10 и 2, а острый угол равен 45  Найти боковую сторону и площадь трапеции.

35.  В треугольнике АВС прямая РК параллельна АС. АР = 4, РВ = 8, АС =6 Найти РК.

36.  В прямоугольной трапеции основания равны 13 и 5, большая боковая сторона равна 10. Найти площадь трапеции.

37.  ВМ - медиана в треугольнике АВС. Площадь треугольника АВМ равна 5. Найти площадь треугольника АВС.

38.   В треугольнике АВС на стороне АС взята точка К, так что АК: КС =3: 1. Площадь треугольника АВС равна 12. Найти площадь треугольника АВК.

39. В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание ВС равно 2, большее основание АD равно 10 и угол между боковой стороной и высотой трапеции равен 30 . Найти боковую сторону и площадь трапеции.

40.   В трапеции ABCD точка М –точка пересечения диагоналей. Основания трапеции равны 3 и 15, Диагональ АС равна 12. Найти отрезки, на которые точка М делит диагональ АС.

41.  В прямоугольном треугольнике АВС угол С - прямой. Гипотенуза равна 8, а . Найти катеты треугольника.

42.   В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. АВ = 6, ВС =  Найти  и площадь треугольника.

43.   В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. ВС = . Найти гипотенузу, другой катет и высоту, проведенную к гипотенузе.

44.  В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. ВС = 10,

. Найти высоту, проведенную к гипотенузе. 

45. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона равна 10 и синус угла при основании равен 0,6. Найти основание АС и площадь треугольника.

46.  В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. . Найти синус угла В и синус внешнего угла при вершине В.

47.  В параллелограмме ABCD проведена высота BH. АВ = 9, АH = 3. Найти косинус и синус угла D.

48.  В треугольнике АВС прямая РК параллельна АС. Сторона АВ = 6, ВК = 3,

КС =2. Найти АР.

49.   В параллелограмме ABCD проведена биссектриса АК. Угол ВАК равен 30 , АD = 6, КС = 2. Найти периметр параллелограмма, его площадь и угол С.  

50.   В окружности проведены две хорды АВ и СD, которые пересекаются в точке М. АМ = 3, СМ = 2, МD = 6. Найти МВ.

51. В прямоугольной трапеции ABCD основания равны 10 и 6, большая боковая сторона равна 5. Найти площадь трапеции, диагональ АС, тангенс тупого угла С.

52.  В прямоугольном треугольнике АВС угол С - прямой. Из вершины С проведена медиана СМ. АВ = 10, АС = 6. угол В равен 40 . Найти площадь треугольников АВС и МСВ, длину медианы СМ,

53.  К окружности с центром О  из точки вне окружности А проведено две касательных. Точки касания В и С. АВ = 6, угол ВАС = 60  Найти АС, ВС,

углы ВОС и АВС.

54. В прямоугольном треугольнике АВС угол С - прямой. Катеты равны 3 и 4. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

55. В окружности с центром О проведено две хорды АВ и АС. Дуга АВ равна 100 , дуга АС равна 120 . Найти углы ВАС и ВОА.

56.  В параллелограмме ABCD опущена высота ВH. Сторона АВ равна 10, АH = 8 и HD = 12. Найти площадь параллелограмма, диагональ ВD, .

57.  В параллелограмме ABCD из вершин А и В проведены биссектрисы, которые пересекаются в точке Р. АВ = 10, АР = 8. Найти ВР.

58.   В параллелограмме ABCD угол С равен 45 , DС = 2 , АD = 9. Найти площадь параллелограмма и диагональ ВD.

59.   В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона ВС равна 10. Внешний угол при вершине С равен150 . Найти угол АВС и площадь треугольника.

60. В трапеции ABCD проведена средняя линия MN и диагональ АС, которые пересекаются в точке Р. Основания трапеции 16 и 6. Найти длины МР и РN. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

61.   В окружность вписан четырехугольник ABCD, у которого угол В равен 70 , а угол С равен 80 . Через вершину С проведена касательная. Угол между стороной ВС и касательной равен 60  Найти угол А, дугу АВС и дугу DС.

62.  В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. Катет АС равен 8, . Найти гипотенузу, синус внешнего угла при вершине В, синус угла А и радиус описанной окружности.

63.  В параллелограмме ABCD сторона АD равна 6 и сторона АВ равна 4. Высота, опущенная из вершины В на сторону АD равна 8. Найти высоту, опущенную из вершины В на DС.

64.  В треугольнике АВС высота, опущенная из вершины А, равна 2, а высота, опущенная из вершины В, равна 6, ВС = 9. Найти АС.

65.   Около треугольника АВС описана окружность. Через вершину А проведена касательная. Угол С равен 40 , дуга АС равна 140  Найти углы между касательной и стороной АВ, между касательной и стороной АС и угол АВС

66. Перпендикуляр, опущенный из точки, лежащей на окружности, на ее диаметр, делит его на отрезки 4 и 9. Найти длину этого перпендикуляра.

67. Из точки М проведены к окружности две секущие МА и МС. МА пересекает окружность в точке В (точка В лежит между А и М), а МС пересекает окружность в точке К (точка К лежит между С и М). МВ = 5, АВ= 3, МК = 4. Дуга АС равна140 , дуга ВК равна 40  Найти длину секущей МС и величину угла М.

68. Из точки М проведены к окружности секущая МА и касательная МС. МА пересекает окружность в точке В (точка В лежит между А и М),

С – точка касания. АМ = 8, АВ = 6. Найти длину касательной МС

69. Хорда АВ стягивает дугу 60 . Радиус окружности равен 2. Найти длину АВ, площадь круга, площадь сектора АОВ и площадь сегмента, отсекаемого от круга хордой АВ.

70. Хорда АВ стягивает дугу 90 . Радиус окружности равен 4. Найти длину   АВ, длину окружности, площадь сектора АОВ и площадь сегмента,

отсекаемого от круга хордой АВ.

71. Вершина угла А лежит на окружности, сторона его АВ является

диаметром окружности. Угол ВАС равен 40 . Через точку А проведена касательная. Найти угол АВС и угол между касательной и стороной угла АС.

72. Хорда АВ, равная 8, перпендикулярна диаметру окружности с центром О и пересекает его в точке Н. Расстояние от центра окружности до хорды равно 3. Найти радиус окружности, длину окружности и площадь круга.

73. В треугольнике АВС угол С равен 90 . Найти .

74. В треугольнике АВС угол С равен 90 . Найти .

75.  В треугольнике АВС угол С равен 90 АВ = 16

76. В треугольнике АВС угол С равен 90 .

77. В треугольнике АВС угол С равен 90 . СН – высота, АВ = 16,

78.  В треугольнике АВС угол С равен 90 . АВ = 25,

79. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 8,

80.  В треугольнике АВС АС = ВС = 20,

81.  В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 30,

82.  В треугольнике АВС АС = ВС = 10 .

83.  В треугольнике АВС АС = ВС, высота СН равна 15, . Найти АС.

84.  В треугольнике АВС АС = ВС=  высота СН равна 5. Найти .

85.  В треугольнике АВС угол С равен 90  Угол А равен 30 . АВ равно 4. Найти катеты.

86.  В треугольнике АВС угол С равен 90  Угол А равен 30 , 10 . Найти АВ и

87.  В треугольнике АВС угол С равен 90  Угол А равен 60 , 8 . Найти АВ и   

88.  В треугольнике АВС угол С равен 90  СН- высота, угол А = 30 , АВ = 20. Найти АН.

89.  Найти высоту и площадь равностороннего треугольника АВС, если его сторона равна 6.

90.  Найти сторону и площадь равностороннего треугольника АВС, если его высота равна

91.  Найти сторону и площадь равностороннего треугольника АВС, если его высота равна 6.

92.  В треугольнике АВС угол А равен 45 , угол С равен 60 , сторона ВС равна 10. Найти сторону АВ и площадь треугольника.

93.   В треугольникеке АВС угол А равен 30 , угол С равен 45 , сторона АВ равна 6. Найти сторону ВС и площадь треугольника.

94. В треугольнике АВС угол С равен 45 , сторона ВС равна 2 , сторона АВ равна 4. Найти угол А.

95. В треугольнике АВС угол С равен 60 , сторона АВ равна 3 , сторона ВС равна 6. Найти угол А.

96.  В треугольнике АВС  радиус описанной около треугольника окружности равен 5,  сторона ВА равна 5. Найти угол С

 97. В треугольнике АВС угол С равен 60 , сторона ВА равна 6. Найти

радиус описанной около треугольника окружности.

98.  В треугольнике АВС угол В равен 60 , сторона АВ равна 5, сторона ВС равна 8. Найти сторону АС

99.  В треугольнике АВС угол В равен 120 , сторона АВ равна 6, сторона ВС равна 10. Найти сторону АС.

100.  В треугольнике АВС стороны равны 8, 7 и 5. Найти угол, лежащий против стороны, равной 7.

101. В треугольнике АВС стороны равны 8, 7 и 5. Найти косинус угла, лежащего против стороны, равной 5.(ответ округлить до сотых)

102.  В треугольнике АВС угол В равен 120 , сторона АВ равна 5, сторона АС равна 7. Найти сторону ВС.

103.  Найти площадь треугольника со сторонами 6, 14 и 10 и высоту, опущенную на сторону, длина которой равна 6.

104. Найти площадь треугольника со сторонами 5, 7 и 8 и высоту, опущенную на сторону 8.

105. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 6. Найти его площадь, длину медианы, проведенной к гипотенузе и площадь описанного около треугольника круга.

106. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник. Высота, опущенная на гипотенузу равна 2. Найти стороны треугольника, его площадь и радиус описанной окружности.

107 В окружности центральный угол, опирающийся на дугу АВ равен 120 , а радиус окружности равен 6. Найти хорду АВ и площадь сектора АОВ.

108. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 5. Найти площадь квадрата и площадь описанного около квадрата круга.

109. Радиус описанной около квадрата окружности равен 6 . Найти диагональ квадрата, площадь квадрата и площадь вписанного в квадрат круга.

110. Площадь квадрата 16. Найти длины окружностей, вписанной и описанной около квадрата.

111. Диаметр описанной около правильного треугольника окружности равен 10. Найти площадь треугольника.

112. Площадь равностороннего треугольника равна .  Найти радиус вписанной в треугольник окружности и периметр треугольника.

113. Длина окружности равна 8  Найти сторону и высоту правильного треугольника, вписанного в него.

114. Площадь круга равна 16 . Найти диагональ и площадь квадрата, описанного около него.

115. Найти ширину кольца, заключенного между концентрическими окружностями, если длина одной 6 , а другой .

116.  Найти площадь кольца, заключенного между двумя концентрическими окружностями с радиусами 3 и 5.

117. Около окружности описан квадрат, его площадь равна 16. Найти площадь треугольника, вписанного в эту окружность.

118. В окружность вписан квадрат, его площадь равна 4. Найти площадь треугольника, описанного около этой окружности.

119. Прямоугольник со сторонами 6 и 8 вписан в круг. Найти площадь круга.

120. В ромб с диагоналями 8 и 6 вписана окружность. Найти длину окружности.

 

121. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­жена фигура

 (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах

 

1.                   2.               3.                  4.              5.

 

122.Найти площади фигур, зная координаты их вершин.

 

1.                                  2.                       3.                          4.

 

123. Найти площадь заштрихованной фигуры.

        1.                   2.                3.

 

  Раздел 2. Вектора и метод координат на плоскости

           Тема 2.1. Вектора

1. Классификация векторов

Вектора

Неколлинеарные

Коллинеарные Лежат на параллельных прямых или на одной прямой   аа

Сонаправленные Направлены в одну сторону

Противоположено направленные Направленны в разные стороны

Равные Равные по длине   Равные по длине

Противоположенные Равные по длине

 

2. Сложение векторов                                                          

1). Правило треугольника                                        

                                                      В                                                               

                                                                                                   

                 А                                                   С

  2) Правило параллелограмма

                                                                   В

                                                                                        D                                         

                                                                                                                                                  

                   A                           

                                C

3. Вычитание векторов.

                       1). Правило треугольника      

                                                      В                                       

                                                                                                                         

                 А                                                     С

                     2). Сложение противоположенного вектора

                                                                             

                                                                                              

 

                                                  

4. Выразить вектор через два неколлинеарных вектора

            B                        K          P          C

                                                                                                                    

                                                                                                         

                                                                                                                    

                          A                                                              D    

                      

                  

 

5. Упрощение выражений с векторами.

                правило сложения векторов                                        

(заменяем вектор  на противоположенный

   (меняем местами вектора)   

                 правило вычитания векторов   

(заменяем вектор  на противоположенный

(группируем вектора)

(группируем вектора)

Тема 2.2. Метод координат                                                  

 1. Нахождение координаты вектора                                                                         В                 

 и В              А

 

 2. Нахождение координаты середины отрезка                                                                                                                        

            А               М              В

 

3.     Нахождение длины отрезка АВ                                               

                                                    

 

4. Сложение векторов                                                                                  B

                   

                                                                    A                         C

                                                                                                                                         B

 5. Вычитание векторов                                                                                                    

                 

             

                                                                                                                            

6. Умножение вектора на число                                                        

                                     

                   

 

7. Длина вектора или модуль вектор а

        

 

                                                                                                                   у

8. Разложение вектора по единичным векторам                                  

                                                                                x

                                                                 

 

9. Скалярное произведение векторов

Определение                             

                                                                                    

                                                                                                                

 В координатах                                                     

                                   

 

10. Нахождение косинуса угла между векторами  

          

 

11. Свойства скалярного произведения

  1). если

и

 2). если угол между векторами острый           

  3). если угол между векторами тупой           

12. Если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю

                            

      

 

если вектора коллинеарные (параллельные), то их координаты пропорциональны

                                  если

                                                               если

 13. Уравнение окружности где

                 

 

14. Уравнение прямой, проходящей через две точки А и В                                       

          находим угловой коэффициент               

                                  решаем уравнение  

 

15. Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны

    если две прямые перпендикулярны, то

 

16. Что бы найти точку пересечения двух прямых  и , надо                     

   приравнять их правые части и найти абсциссу () точки

    пересечения. Подставив полученное  в любое из данных уравнений, найдем

    ординату ().

 

17. Что бы найти координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс

    (Ох), надо найти

     Что бы найти координаты точки пересечения прямой с осью ординат

      (Оу), надо подставить в уравнение прямой и найти

18. Что бы найти точку пересечения окружности и

    прямой , надо решить подстановкой систему двух уравнений

                       и найти .

    Это и будут координаты точки пересечения прямой и окружности.