Отрезки, пропорциональные боковым сторонам

 

 

если ,

 

 то   и

4). Свойство площадей треугольников с равными углами:

 

Площади треугольников с равными углами относятся как произведение

Прилежащих сторон

если ,  то

5). Свойство площадей треугольников с одинаковыми высотами:

площади треугольников с одинаковыми высотами относятся как основания.

если

то

6). Свойство медианы треугольника:

  медиана треугольника делит его на два равновеликих.

                                 В                                                           

                                                                                                 ВМ - медиана

          А                                                           С            

                                         M

                                           

7). Свойство точки пересечения медиан:

медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

   

                 

   

 

8). Свойство прямой, проведенной параллельно стороне треугольника:

прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный данному.

                                                                              

         PK

 

                                                                                 

 

                  В                                                            

      

                                                                           

                                                                                     

   P                                                K                       

 

   А                                                        С

 

                                                                  

9). Свойство равнобедренного треугольника с углом 60 :

Равнобедренный треугольник, у которого один из углов равен 60 , является равносторонним.

           В  

                                 Если   и 60 ,

                                                   то   и 60 ,

                                   

А                                С

10). Определение вида треугольника по его сторонам

  Пусть - наибольшая сторона треугольника

 

 

 

Тема 1.3. Четырехугольники

 

1. Свойства фигур.

1). Параллелограмм.

 Определение: параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

Свойство: а) противоположенные стороны и углы равны

                  б) диагонали в точке пересечения делятся пополам.

                  в) углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°

 

                 AB = CD, BC = AD,                 

               A = C, B = D,

                AO = OC, BO = OD,             A + D = 180°,   A + B = 180°

   

              

2). Прямоугольник.

 

Определение: прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство: диагонали равны.

 

        A

 

3). Ромб

 

Определение: ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства: а) диагонали перпендикулярны,

              б) диагонали являются биссектрисами углов.

  AB = BC = CD = AD

  AC  BD,           

4). Квадрат.

Определение: квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны.

Свойства: диагонали равны,

              диагонали точкой пересечения делятся пополам,

             диагонали перпендикулярны,

             диагонали делят углы пополам.

  A = C = B = D = 90 °

  AB = BC = CD = AD

     

  AC = BD, AC BD,

 AO = OC, BO = OD,

       

5). Трапеция.

Определение: трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две - нет.

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна180

   Равнобедренная трапеция – у которой боковые стороны равны.

1). Свойство равнобедренной трапеции: а) диагонали равны

                                                                  б) углы при основании равны.

          B                 C

                                                                           Если AB = CD,

                                                                       то AC = BD и A = B.

                                                    

А                                                          D

 

 2). Свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу сумме.

M – середина стороны АВ, N – середина стороны CD

 

MN – средняя линия трапеции   

MN BC AD   

                    

  MN =

2. Площади фигур.

1). Параллелограмм    S = a h                      a – сторона параллелограмма

                                                     h – высота, опущенная на эту сторону

                                       S = a b sin            a, b - стороны параллелограмма                                                                           

                                                                         – угол между ними

                                       ,  - диагонали параллелограмма

                                                                        - угол между диагоналями

 

 2).   Прямоугольник   S = a b                       a, b – стороны прямоугольника

                                      S =                 d – диагональ прямоугольника

                                                                         - угол между диагоналями

 

3).  Ромб                     S = a h                         a – сторона ромба

                                                                               h – высота ромба

                                       S =                     a – сторона ромба

                                                                           - угол ромба

                                       S =                - диагонали ромба

                                        S =                   P - периметр ромба

 

                                                                           r – радиус вписанной окружности

4). Квадрат                    S =                            а – сторона квадрата

                                         S =                          d – диагональ квадрата

 

5). Трапеция                  S =                a. b – основания трапеции

                                                                                 h – высота трапеции

                                          S = m h                       m – средняя лини трапеции

                                                                                  h – высота трапеции

                                         S =         - диагонали трапеции

                                                                             - угол между ними

 

6). Любой четырехугольник   S =     - диагонали чет - ка

                                                                                 - угол между ними

 

7). Описанный четырехугольник (в который можно вписать окружность)

 

                              S =                             P - периметр         

                                                                                      r – радиус вписанной окружности