Средняя линия в треугольнике параллельна основанию и равна его половине.

Средняя линия соединяет середины боковых сторон треугольника.

 

                                           B                                

                                                                               если MN – средняя линия,

                           M                    N             то MN AC и MN = AC

                                                                               

                                                          

        A                                              C                

 

  4). Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

 Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом треугольника.                    

BCD = 180 - BC А

 

  BCD = A + B

5). В любом треугольнике выполняются следующие условия:

а) сумма углов равна 180°

б) против большей стороны лежит больший угол

в) сторона в треугольнике меньше суммы двух других сторон, но больше их разности

 

A + B + C = 180°  

 

    если BC >AB, то A > C

 

            2. Признаки равенства и подобия треугольников.

1). Два треугольника равны, если у них равны:

                     а) две стороны и угол между ними - 1признак

                     б) два угла и сторона, заключенная между ними – 2 признак

                     в) три стороны – 3 признак.

        Два треугольника называются равными, если при наложении они совпадают

 

2).  Два треугольника подобны, если у них:

          а) два угла равны - 1 признак

          б) две стороны пропорциональны и углы между ними равны – 2 признак

           в) три стороны пропорциональны – 3 признак.

 

       Два треугольника называются подобными, если у них углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

       Сходственные стороны в подобных треугольниках - стороны, лежащие против равных углов.

        Коэффициент подобия – отношение сходственных сторон.

 

  3). В подобных треугольниках:

                   

 а) периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия

  б) площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате.

 

                      B

                                                                        

                                                          N

 

  A                          C         M              P

 

Δ ABC Δ MNP                    

                                          

3. Формулы площадей треугольника

1).    Равносторонний треугольник

 

            S =               a – сторона треугольника

             h =               h – высота треугольника

2). Прямоугольный треугольник

                 S =   a b                    a, b – катеты треугольника

3).  Разносторонний треугольник

                  S =   a h                            a – сторона треугольника

                                                        h – высота, проведенная к этой стороне

                 S = a b sin α                   a, b – стороны треугольника                     

                                                   α - угол между этими сторонами

                 S =    a, b, c – стороны треугольника

                                                            p – полупериметр; p = (a + b + c)

                  S =                             a, b, c – стороны треугольника

                                                              R – радиус описанной окружности

                   S = P r                               P –периметр треугольника

                                  r – радиус вписанной окружности

 

Решение треугольников.

 

1). Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

  Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно    удвоенному радиусу описанной окружности.

           

  2). Теорема косинусов:

 Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

 

                       

       

 

 

Прямоугольные треугольники.