Тема 4. Дисперсионный анализ

 

Влияние некоторых факторов, определяющих вариацию признаков, можно установить с помощью группировок, образовав более однородные совокупности единиц наблюдения с меньшей вариацией.

Сила влияния группировочного фактора оценивается на основе сравнения дисперсий результативного признака в выделенных группах и общей дисперсией, вычисленной до группировки.

Если исследуемую совокупность разделить на группы по факторному признаку, то для этих групп рассчитываются такие виды дисперсий: общая, межгрупповая и внутригрупповая.

 

Дисперсионный анализ групп включает:

1. Вычисление общей дисперсии результативного признака до группировки.

; .

 

2. Разделение единиц наблюдения исследуемой совокупности на группы i=1,2…n по факторному признаку.

 

3. Вычисление средних и дисперсий в каждой группе:

; .

 

4. Вычисление межгрупповой дисперсии:

.

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию, возникающую под влиянием факторного признака, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых средних относительно общей средней.

 

5. Вычисление внутригрупповой дисперсии (средней величины групповых дисперсий):

.

Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влиянием не учитываемых факторов и не зависит от признака, положенного в основу группировки.

 

 

6. Контрольная проверка:

 – правило сложения дисперсий

 

 

7. Анализ качества группировок

 и .

В этом случае фактор, положенный в основу группировки, выбран правильно, вариация результативного признака в группах существенно уменьшилась.

8. Корреляционное отношение показывает тесноту связи между факторным и результативным признаками.

При качественной группировке , т.к. .

при  имеет место очень сильное влияние группировочного признака;

при  имеет место сильное влияние;

при  имеет место слабое влияние;

при  влияние отсутствует.

 

Пример. Распределение численности по уровню ЗП в цехе № 1

Дневная ЗП рабочих, д.ед.	число рабочих цеха №1, чел. (f1j)	xj, д.ед.	xj*f1j
8-10	2	9	18	91,13
10-12	3	11	33	67,69
12-14	5	13	65	37,81
14-16	11	15	165	6,19
16-18	10	17	170	15,63
18-20	5	19	95	52,81
20-22	4	21	84	110,25
Итого	40	-	630	381,5

 

1) средняя ЗП в цехе №1:

 д.ед.

2) групповая дисперсия в цехе №1:

 

Распределение численности по уровню ЗП в цехе № 2

Дневная ЗП рабочих, д.ед.	число рабочих цеха №2, чел. (f2j)	xj, д.ед.	xj*f2j
8-10	6	9	54	158,69
10-12	5	11	55	49,39
12-14	6	13	78	7,84
14-16	9	15	135	6,61
16-18	3	17	51	24,49
18-20	2	19	38	47,18
20-22	4	21	84	188,08
Итого	35	-	495	482,29

3)  средняя ЗП в цехе №2:

 д.ед.

 

4) групповая дисперсия в цехе №2:

 

Распределение численности по уровню ЗП на предприятии

Дневная ЗП рабочих, д.ед.	общее число рабочих, чел. (fj общ)	xj, д.ед.	xj*fj общ
8-10	8	9	72	288,00
10-12	8	11	88	128,00
12-14	11	13	143	44,00
14-16	20	15	300	0,00
16-18	13	17	221	52,00
18-20	7	19	133	112,00
20-22	8	21	168	288,00
Итого	75	-	1125	912,00

5) общая средняя ЗП:

 д.ед.

 

6) общая дисперсия:

 

7) средняя групповых дисперсий:

 

8) межгрупповая дисперсия:

.

9) Правило сложения дисперсий:

 

10) Корреляционное отношение:

 

 – влияние факторного признака отсутствует.

 

Тема 5. Выборочное наблюдение в статистике

 

Выборочное наблюдение – основной вид не сплошного наблюдения. При выборочном наблюдении характеристика всей совокупности единиц даётся по некоторой их части, отобранной в случайном порядке.

Область применения:

- аудиторские проверки первичных финансовых документов;

- контроль качества продукции;

- изучение использования рабочего времени, работы оборудования.

Метод выборочного наблюдения имеет как преимущества, так и недостатки.

Преимущества:

- быстрота осуществления при небольших затратах;

- достаточная представительность (репрезентативность) при соблюдении определенных требований.

Недостатки:

- возможность возникновения трудно установимой ошибки;

- недостаточная надёжность метода.

Способ устранения ошибок – дублирование наблюдений.

 

Основные понятия выборочного наблюдения:

Вся совокупность изучаемых единиц N является генеральной совокупностью.

В выборочную совокупность отбирают n единиц.

Доля выборки - n/N (при =0,1 имеем выборку 10%)

 

При обследовании единиц генеральной совокупности выборочным методом обычно решаются задачи:

1) охарактеризовать среднее значение наблюдаемого признака в генеральной совокупности;

2) охарактеризовать долю единиц, обладающих некоторым признаком А в генеральной совокупности;

3) определить необходимую численность выборочной совокупности.

 

Задача 1. Охарактеризовать среднее значение наблюдаемого признака в генеральной совокупности

Уровень изучаемого признака генеральной совокупности определяется генеральной средней . По результатам обработки выборочного статистического ряда получают выборочную среднюю .

Мерой соответствия и   является ошибка выборочной средней по отношению к генеральной средней:  или .

Предельная ошибка выборочной средней:

t = 1 при Р(t) = 0,683;

t = 2 при Р(t) = 0,954;

t = 3 при Р(t) = 0,997.

Простая ошибка выборочной средней зависит от способа отбора единиц в выборочную совокупность (повторный или бесповторный).

Повторный отбор – единица после регистрации возвращается в генеральную совокупность и в результате случайного отбора может быть обследована вновь.

Бесповторный отбор – единица после регистрации не возвращается в генеральную совокупность.

1) при повторном отборе

  ,

2) при бесповторном отборе

    .

 

Задача 2. Охарактеризовать долю единиц, обладающих некоторым признаком А в генеральной совокупности

Доля единиц, обладающих некоторым признаком A, в генеральнойсовокупности называется генеральной долей .

Доля единиц, обладающих некоторым признаком А, в выборочной совокупности называется выборочной долей .

Мерой соответствия  и р является ошибка доли выборки по отношению к доле в генеральной совокупности .

 

Предельная ошибка

Простая ошибка доли выборки:

1) при повторном отборе

  , 

2) при бесповторном отборе

    .

где  – доля единиц, не обладающих признаком А;

 – дисперсия альтернативного признака.

 

Задача 3. Определить необходимую численность выборочной совокупности

Задано

Принимается постоянной .

Определить n _необх

 

 

1) при определении генеральной средней.

Бесповторный отбор: ;          Повторный отбор: ;

 

2)при определении генеральной доли.

Бесповторный отбор:             Повторный отбор: ;

 

 

Пример:

Дано распределение работников предприятия по уровню ЗП по данным 10%-го случайного бесповторного выборочного обследования

ЗП, д.ед.	Число рабочих, чел.
100-120	18
120-140	11
140-160	18
160-180	24
180-200	15
200-220	14
Итого:	100

Рис. Гистограмма распределения работников предприятия по уровню заработной платы

 

1) определить размер средней ЗП предприятия (с вероятностью 0,683)

 

 

 

 

Расчетная таблица для определения дисперсии

хj	fj	|xj-xcp|	(xj-xcp)^2	(xj-xcp)^2*fj
110	18	49,8	2480,04	44640,72
130	11	29,8	888,04	9768,44
150	18	9,8	96,04	1728,72
170	24	10,2	104,04	2496,96
190	15	30,2	912,04	13680,6
210	14	50,2	2520,04	35280,56
Итого:	100			107596

 

 

Доверительный интервал генеральной средней:

 

2) Определить долю рабочих, имеющих ЗП на уровне средней и выше (с вероятностью 0,997)

 

n_A=24+15+14=53;     p_A=53/100=0,53;     q=1–0,53=0,47.

 

P(t)=0,997 ®  t=3

 

 

 

Доверительный интервал генеральной доли:

 

3) необходимая численность выборки при определении средней ЗП в случае, если ошибка не будет превышать 5 д.ед. с вероятностью 0,954.

Dх=5;     P(t)=0,954 ® t=2.

 

 чел.

n_доп=147-100=47 чел.

 

4) необходимая численность выборки при определении доли единиц, обладающих признаком А, в случае, если ошибка не будет превышать 5% с вероятностью 0,954.

Dр=0,05;     P(t)=0,954 ® t=2.

 

 чел.

n_доп=286-100=186 чел.

 

Средняя заработная плата всех работников предприятия (генеральной совокупности - 1000 чел.) с вероятностью 0,683 составит в пределах от 156,7 д.ед. до 162,9 д.ед. Причем, доля работников предприятия, получающих заработную плату на уровне средней и выше, находится в пределах от 32% до 62%. Для снижения ошибки выборки при определении генеральной средней и генеральной доли необходимо увеличить число выборочной совокупности на 47 чел. и 186 чел. соответственно.