Средние величины в статистике

Средней величиной называют обобщающий показатель статистической совокупности единиц наблюдения, вычисленный по одному из количественно варьирующихся признаков, который характеризует уровень признака в варьирующемся ряду.

Условия исчисления средних:

1) расчет средних должен быть основан на массовом обобщении фактов;

2) средняя должна быть типичной характеристикой качественно однородной совокупности единиц наблюдения.

Средние величины, применяемые в статистике, отличаются по классу степенных средних.

Показатель степени, в которую возводится переменная величина, определяет вид средней.

, где і=1,2…n,

 

 

Значение показателя степени	Порядок расчета средних величин
	Для простого ряда	Для вариационного ряда

 

 

По абсолютной величине средние убывают с убыванием показателей степени:

 – правило мажорантности.

 

Средняя арифметическая величина для вариационного ряда называется

средняя взвешенная  

 

Для характеристики особенностей распределения единиц совокупности по размеру исследуемого признака используют структурные средние: моду и медиану.

Мода(М_о) – это значение признака, которое чаще всего наблюдается в совокупности.

В дискретном ряду (значение признака выражено целым значением) – это вариант, имеющий наибольшую частоту.

Разряд рабочих	1	2	3	4	5	6
Численность рабочих, чел.	5	12	18	25	15	19

М_о=4.

 

В интервальном ряду – мода определяется по формуле:

где х_о – нижняя граница модального интервала;

h – ширина модального интервала;

f_m – частота модального интервала (интервал с наибольшей частотой);

f _m-1, f _m+1 – частота предыдущего и последующего интервалов относительно модального.

 

Норма выработки, шт./дн.	10-20	20-30	30-40	40-50
Численность работников, чел.	15	28	12	8

 

Медиана (Ме) – это варианта, которая является центром распределения совокупности и делит её две равные части: одна часть имеет значение вариационного признака больше средней, а вторая – меньше.

Для дискретного ряда:

Разряд рабочих	1	2	3	4	5	6
Численность рабочих, чел.	5	12	18	25	15	19
Кумулятивное число, чел.	5	17	35	60	75	94

Порядковый номер центральной варианты определяется отношением общей суммы частот на два: 94/2 = 47. Это значение содержится в кумулятивной частоте 60, а соответствующая ей варианта составляет 4, тогда М_е = 4.

Для интервального ряда:

Значение медианы рассчитывается по формуле:

,

где х_о – нижняя граница медианного интервала;

h – ширина медианного интервала;

S _m-1 – кумулятивная частота интервала, предшествующего медианному;

f_m – частота медианного интервала.

 

Норма выработки, шт./дн.	10-20	20-30	30-40	40-50
Численность работников, чел.	15	28	12	8
Кумулятивное число, чел.	15	43	55	63

Медианный интервал определяется делением ряда распределения на две равные части (63/2=31,5). Отсюда, медианный интервал 20-30. Тогда медиана составит: