Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.

Проверяют гипотезу о нормальном распределении о генеральной совокупности с помощью специального критерия, который называется критерием согласия. Остановимся на критерии согласия Пирсона.

По критерию согласия Пирсона проверяется гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Для этого сравниваются эмпирические (полученные по данным выборки) частоты n_i и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты n_i ^’.

Критерий Пирсона построен так, что: если эмпирические и теоретические частоты n_i и n_i ^’ различаются незначимо, то с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности соглашаются; если эмпирические и теоретические частоты различаются значимо, то с гипотезой о нормальном распределении не соглашаются, т. е. ее отвергают.

Критерий согласия Пирсона не устанавливает, является ли генеральная совокупность нормальной, а при данном уровне значимости можно ли согласиться с гипотезой о нормальном распределении или нет.

Пусть по данным выборки объемом n, получены следующие эмпирические и теоретические частоты.

 

Эмпирические частоты ni	N1	N2	…	Nn
Теоретические частоты ni ^’	N1^’	N2^’	…	Nn^’

 

Методика вычисления теоретических частот по данным выборки будет рассмотрена на практическом занятии.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы рассматривается случайная величина

                                                           

По таблице критических точек распределения χ² по уровню значимости α и числу степеней свободы , где S-число вариант, находят критическую точку χ²_набл(α;κ)  правосторонней критической области (все таблицы смотреть в приложении).

           

Вывод: Если χ²_набл< χ²_кр, то нет основания отвергнуть нулевую гипотезу. Эмпирические и теоретические частоты различаются не значимо, случайно.

Если χ²_набл> χ²_кр, то нулевую гипотезу отвергают и эмпирические и теоретические частоты различаются значимо, не случайно.

 

Замечание.

По критерию согласия Пирсона объем выборки должен быть велик (n≥50).

 

Пример.

По данным выборки получены эмпирические и теоретические частоты. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона при заданном уровне значимости.

Эмпирические и теоретические частоты заданы таблицей.

Эмпирические частоты ni	6	13	38	74	106	85	30	14
Теоретические частоты ni ^’	3	14	42	82	99	76	37	13

Уровень значимости α=0,05

Вычислим наблюдаемое значение критерия

                                              

Составим расчетную таблицу.

 

i	ni		ni ^’	ni - ni ^’	(ni - ni ^’)^2		ni^2
1	6		3	3	9	3	36	12
2	13		14	-1	1	0,07	169	12,07
3	38		42	-4	16	0,38	1444	34,38
4	74		82	-8	64	0,78	5476	66,78
5	106		99	7	49	0,49	11236	113,49
6	85		76	9	81	1,07	7225	95,07
7	30		37	-7	49	1,38	900	24,32
8	14	13		1	1	0,08	196	15,08
∑	366	366				χ^2набл=7,19		373,19

Контроль

 

Найдем число степеней свободы , где S-число различных вариант.

K =8-3=5

По уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы K =5 по таблице критических точек χ²_кр(α;κ) находим критическую точку правосторонней критической области χ²_кр(0,05;5)=11,1.

 

Т.к. χ²_набл< χ²_кр, то нет основания отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, т.е. эмпирические и теоретические частоты различаются не значимо (их различие носит случайный характер).

 

Элементы теории корреляции