Статистические оценки параметров распределения

Опр: Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называют функцию от наблюдаемых значений случайной величины.

Пусть по результатам выборки объема n  каким–либо образом найдена оценка параметра генеральной совокупности.

Оценки бывают:

1. Несмещенные, если ее математическое ожидание совпадает с оцениваемым параметром при любом объеме выборки;

2. Эффективные, если дисперсия имеет постоянное значение;

3. Состоятельные, если при она сходится по вероятности к оцениваемому параметру.

Будем рассматривать точечные (задаются одним числом) и интервальные (задаются 2-мя числами, концами интервала) оценки параметров генеральной совокупности.

Точечные оценки (выборочное среднее и выборочное дисперсия)

Пусть выборка задана статистическим рядом:

			…
			…

 

Опр: Выборочной средней называется число:

Выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания генеральной совокупности.

Опр: Выборочной дисперсией называется величина:

Вычислять выборочную дисперсию по этому определению неудобно, лучше использовать формулу для вычисления выборочной дисперсии:

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Несмещенной оценкой является исправленная выборочная дисперсия:

При большом объеме выборки поправка  практически равна 1, а при малом объеме выборки эта поправка играет существенную роль.

Выборочным средним квадратическим отклонениемназывается число:

Выборочное квадратическое отклонение

Пример:

По результатам выборки найти точечные оценки математического ожидания и дисперсию генеральной совокупности.

	2	4	5	6	8
	10	10	30	40	10

Замечание: При выборки малого объема точечная оценка может значительно отклоняться от оцениваемого параметра. По этой причине при малом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

 

Интервальные оценки

Опр: Интервальной называют оценку, которая определяется 2-мя числами, концами интервала.

Опр: Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый параметр.

Надежность оценки - это вероятность попадания в доверительный интервал.

Рассмотрим 3 интервальные оценки параметров нормально распределенного признака  генеральной совокупности.

1. Интервальной оценкой с надежностью математического ожидания, а нормально распределенного количественного признака  по выборочной средней  при измененном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит интервал

Где точность

Параметр t находят из соотношения

Пример:

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью  неизвестного математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочной средней , генеральное среднее квадратическое отклонение  объем выборки равен 25.

Интервальная оценка

Находим t,

По таблице найдем t=1,96

2. Интервальной оценкой с надежностью математического ожидания нормально распределенного количественного признака генеральной совокупности по выборочной средней и неизмененном среднем квадратическом отклонении и малом объеме выборки служит следующий интервал:

                   

Пример:

По данным 9 независимых равноточных измерений некоторой физической величины из генеральной совокупности найдено выборочное среднее квадратическое отклонение равно .

Оценить истинное значение физической величины с надежностью . Предусматривается, что величина распределена нормально.

По таблице

3. Интервальной оценкой с надёжностью среднего квадратического отклонения

σ нормально распределённого количественного признака Х по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению S служит интервал

 

                             при q <1

                               при q >1,

                        где q находят по таблицам по известным n и .

Пример.

По данным выборки объёма n =16 найдено исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение S =1 нормально распределённого признака в генеральной совокупности. Найти с надёжностью =0,95 длительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения. По таблице q =(n;  )= q (16; 0,95)=0,44<1

                                                 1(1-0,44) < σ <1(1+0,44)

                                                            0,56 < σ <1,44.