Содержательный смысл NJ -фигур заключения.

 

Мы хотим пояснить содержательный смысл некоторых из схем фигур заключения и тем самым попытаться показать, что описанное исчисление на самом деле воспроизводит «действительные рассуждения».

FE (введение следования). Словами это заключение можно выразить так:

«Если В доказано с использованием допущения U, то (уже без этого допущения) из U следует В».

(Естественно, могли быть сделаны другие допущения, от которых этот результат остается зависимым.)

ОВ (удаление или). Если доказано UÚB, то можно вести доказательство разбором случаев. Предположим сначала, что имеет место U, и из него выведем С. Если далее их предположения о том, что имеет место В, снова вывести С, то С вообще имеет место уже независимо от обоих допущений (ср. 1.1).

АЕ (введение всеобщности). Если Fa доказано «для произвольного а», то имеет место "xFx.

Предположим, что а «совершенно произвольно может быть точнее выражено так: Fa не зависит на от какого допущения, в которое входит предметная переменная а. И это вместе с само собой разумеющимся требованием, чтобы в Fx все вхождения а в Fa были заменены на х, составляет в точности ту часть приведенного выше ограничения на переменные, которая относятся к АЕ.

ЕВ (удаление существования). Имеем $xFx. Далее рассуждаем так:

пусть а – именно такой объект, для которого имеет место F, т.е. допустим, что имеет место Fa. (Естественно, при этом в качестве а надо брать такую предметную переменную, которая не входит в $xFx.) Если, опираясь на это допущение, мы докажем некоторое высказывание С, которое уже не содержит а и не зависит ни от каких других допущений, содержащих а, то С доказано независимо от допущения Fa. В этом рассуждении уже высказана та часть ограничения на переменные, которая относится к ЕВ. (Существуют известная аналогия между ЕВ и ОВ; это объясняется тем, что знак существования является обобщением знака Ú, а знак всеобщности – знака &.)

N В (удаление отрицание). U и U означает противоречие, а таковое не может соответствовать в действительности (закон противоречия).

Это формально отражено в фигуре заключения NB, где знак L означает «противоречие», «ложность».

NE (введение отрицания) (reduction ad absurdum – приведение к нелепости). Если из допущения U следует нечто ложное (L), то U не является истинной, т.е. имеет место U.

Схема . Если имеет место нечто ложное, то имеет место любое высказывание.

Остальные схемы фигур понимаются в аналогичном (выше изложенном) плане.

 

 

§4. Запись трех примеров из §1 в виде NJ -выводов.

 

1-й пример (1.1): [XÚ(Y&Z)]É[(XÚY)&(XÚZ)].

 

                                                                                                                       OB1

                          

В этом примере расположение в виде дерева должно показаться несколько искусственным, поскольку при нем, например, пропадает преемственность между разбором случаев X, Y&Z и установлением XÚ(Y&Z).

2-й пример (1.2):

Здесь также при линейном расположении было бы естественно начать с введения в качестве допущения левой верхней формулы фигуры заключения ЕВ, как это имело место в данном примере в §1.

3-й пример (1.3):