Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Основные виды фазовых траекторий линейных систем второго порядка.
Уравнение системы второго порядка: Корни этого уравнения: Для разных значений a возможны шесть разных случаев, следовательно шесть фазовых траекторий. 1) корни чисто мнимые при a 1=0, а 2>0 (колебательная граница устойчивости линейной системы); получается незатухающие колебания (рис. 16.2, а) (16.4) Для фазовой плоскости уравнения представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями А и ω A (рис. 16.2, б). Уравнение эллипса:
можно получить непосредственным решением дифференциального уравнения фазовых траекторий (16.3) при а1=0 и а2=ω2, причем A — произвольная постоянная интегрирования. периодическим колебаниям системы (рис. 16.2, а) соответствует движение изображающей точки по замкнутой кривой(рис. 16.2, б). Фазовые траектории по замкнутой кривой 2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при (устойчивая линейная система); это затухающие колебания (рис. 16.3, а) Рис. 16.3 где а произвольные постоянные A и β определяются из начальных условий: . Значения х и у не возвращаются за период колебания к прежним, а становятся меньше. Это дает на фазовой плоскости (х, у) кривую (рис. 16.3, б), которая за один оборот не возвращается в прежнюю точку М0, а подходит ближе к началу координат, то есть фазовые траектории в виде спиралей (рис. 16.3, б). 3) корни комплексные и имеют положительные вещественные части при (неустойчивая линейная система); Рассуждая аналогично предыдущему, получим всю совокупность возможных фазовых траектории тоже в виде спиралей, но только изображающая точка будет двигаться по ним не к началу координат, а от него (рис. 16.4, б). Рис. 16.4
4) корни вещественные отрицательные при (устойчивая линейная система); апериодический процесс: (16.5) где
Рис. 16.6 Здесь все фазовые траектории вливаются непосредственно в начало координат О фазовой плоскости. Однако изображающая точка М не попадает в начало координат в конечное время, а приближается асимптотически. Фазовые траектории, вливающиеся в начало координат. (Рис. 16.6) 5) корни вещественные положительные при (неустойчивая линейная система); Этот случай (вещественные положительные корни) соответствует также апериодическому процессу, определяемому теми же уравнениями (16.5), но при α1<0 и α2<0. Аналогично предыдущему получаем кривые процесса и фазовые траектории, изображенные на рис. 16.6.
Рис. 16.6 6) корни вещественные и имеют разные знаки при а 2<0 (неустойчивая линейная система); в частности, один из корней будет равен нулю при а 2 = 0 (апериодическая граница устойчивости линейной системы). Это апериодический процесс, но α1 и α2 имеют разные знаки, следовательно картина фазовых траекторий здесь иная. Так как а2<0, то α2= –а2, рассмотрим случай а1=0, что соответствует согласно (16.1) уравнению системы
и согласно (16.3) — уравнению фазовых траекторий (16.6) Интегрирование дает , т.е. семейство гипербол, изображенное на рис. 16.7, б. рис. 16.7, б. Аналогичная картина фазовых траекторий получится в данном случае и при а1≠0. Итак, расходящимся апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории типа рис. 16.6, б или типа рис. 16.7, б, причем изображающая точка, двигаясь по ним, в конечном итоге удаляется от начала координат.
Основные понятия по Ляпунову об устойчивости нелинейных систем. Основные виды устойчивости нелинейных систем. Устойчивость по Ляпунову: «Невозмущенное движение устойчиво, если при достаточно малых начальных возмущениях вызванное ими возмущенное движение сколь угодно мало отличается от невозмущенного; при этом движение асимптотически устойчиво, если при t возмущенное движение стремится к невозмущенному.» Невозмущенным движением системы - одно из возможных расчетных движений системы при некоторых определенных начальных условиях и заданном внешнем воздействии. Всякое другое движение называется возмущенным. Можно считать, что любое возмущенное движение получается за счет приложения к системе кратковременного внешнего возмущения при t = 0. От наличия внешних воздействий на систему, системы управления могут быть разделены на автономные и неавтономные. В автономных системах внешние воздействия отсутствуют. К автономной системе может быть сведена любая из непрерывных систем при не зависящем от времени внешнем воздействии. В неавтономных системах существуют зависящие от времени внешние воздействия.
Так как в автономных нелинейных системах наиболее характерными: являются два процесса равновесие и автоколебания, то для них рассматриваются два различных понятия устойчивости: устойчивость равновесия и устойчивость автоколебаний. Для неавтономных систем существует понятие устойчивости процесса, обусловленного внешним воздействием. Состояние равновесия и установившийся режим автоколебаний можно рассматривать как важные частные случаи невозмущенных движений автономной системы. Для общего суждения об устойчивости движения пользуются понятием устойчивости, данным А. М. Ляпуновым: движение устойчиво, если для любой сколь угодно малой заданной области допустимых отклонений k от точки k = 0 можно указать область начальных значений лежащую внутри области и обладающую тем свойством, что ни одно возмущенное движение, начавшееся внутри области никогда не достигнет границы области . Области и на плоскости 1 и 2 схематически показаны на рис. 18.1 Для характеристики устойчивости кроме областей и удобно ввести понятие области установившихся значений разности возмущенного и невозмущенного движений. При t (18.3) Вид области зависит от области начальных отклонений. Нужно отметить два практически важных частных случая областей . В первом случае = 0, т. е. (18.4) Такое движение называют асимптотически устойчивым. Если для выполнения равенства (18.4) требуется, чтобы область начальных отклонений была достаточно мала, то говорят об асимптотической устойчивости в малом. Если эта область может иметь конечные размеры, то говорят об асимптотической устойчивости в большом. Если, наконец, равенство (18.4) выполняется при сколь угодно больших начальных отклонениях, то говорят об асимптотической устойчивости в целом. Во втором частном случае область представляет собой отрезок на оси 1. В этом случае равенство (18.4) не выполняется при сколь угодно малых отклонениях от равновесия и устойчивость относится к неасимптотической. Для суждения об устойчивости автоколебаний вводится понятие орбитальной устойчивости. Периодическое движение (автоколебание) в пространстве состояний изображается некоторой замкнутой кривой Г. Представляя любую траекторию геометрическим местом конца вектора x (t), можно для любого момента времени t определить кратчайшее расстояние ох конца вектора x (t)до кривой Г, которое обозначим [ x (t), Г]. Под орбитально асимптотически устойчивым периодическим движением в автономной системе (автоколебанием) будем понимать такое движение, для которого . (18.5) Это условие можно выразить с помощью понятия невозмущенного движения, если учесть возможный сдвиг по времени между x H (t) и х (t). Обозначив , (18.6) можно условие орбитальной асимптотической устойчивости сформулировать следующим образом: существуют такие положительные вещественные значения = 0, для которых (18.7) Невыполнение условия (18.5) или (18.7) приводит к нарушению орбитальной асимптотической устойчивости.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-03-09; просмотров: 148; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.221.53.209 (0.011 с.) |