Равносильность при решении задач с параметрами

Цель: формировать умение решать задачи с использова­нием равносильных переходов.

Многие задачи с параметрами решаются простым аккурат­ным применением равносильных переходов.

Уравнения называются равносильными, если совпадают множества их решений (или они оба не имеют решений).

Решение уравнений, встречающихся в школьном курсе ал­гебры, основано на следующих шести равно­сильных преобразованиях:

1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
3. Показательное уравнение , где а > 0, а ≠ 1, равно­сильно уравнению f(х) = g(х).
4. Если обе части уравнения f(х) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), имеющее смысл в области определения уравнения f(х) = g(х) и не равное в нем нулю, то получится урав­нение f(х) h(x) = g(х) h(x), равносильное данному.
5. Если обе части уравнения   f(х) = g(х) неотрицательны в об­ласти определения уравнения, то после возведения обеих частей в одну и ту же четную степень f ⁿ(х) = g ⁿ(х) получится уравне­ние, равносильное данному.
6. Если   f(х) > 0, g(х) > 0, то логарифмическое уравнение , где а > 0, а ≠ 1, равносильно уравнению f(х) = g(х).

Вспомним некоторые равносильные переходы при решении уравнений:

  ⟺   , где а > 0, а ≠ 1.

  ⟺

  ⟺

  ⟺

При решении неравенств с параметрами необходимо сле­дить, чтобы в ходе преобразований не терялись решения и не появлялись посторонние решения.

Вспомним некоторые определения и теоремы.

Частным решением неравенства  называют всякое значение переменной х, которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство.

Множество всех частных решений неравенства  на­зывают общим решением, но чаще употребляют термин реше­ние.

Два неравенства с одной переменной  и  называют равносильными, если их решения (то есть множества частных решений) совпадают.

Если решение неравенства  содержится в решении неравенства , то неравенство  называют следствием неравенства . (Этот термин использовался ранее).

Решение неравенств из школьной программы основано на шести равносильных преобразованиях нера­венств:

1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оста­вив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

2. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечет­ную степень, оставив знак неравенства без изменения, то полу­чится неравенство, равносильное данному.

3. Показательное неравенство  равносильно: а) не­равенству f(х) > g(x) того же смысла, если а > 1; б) неравенству f(х) < g(x)  противоположного смысла, если 0 < а < 1.

4. а) Если обе части неравенства  умножить на одно и то же выражение h(х), положительное при всех из области оп­ределения неравенства, оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство f(х) h(x) > g(x) h(x), равно­сильное данному.

б) Если обе части неравенства  умножить на одно и то же выражение h(x), отрицательное при всех из области определения неравенства, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f(х) h(х) < g(x) h(x), равносильное данному.

5. Если обе части неравенства f(х) > g(x) неотрицательны в области определения, то после возведения обеих частей нера­венства в одну и ту же четную степень п получится неравенство того же смысла: f ⁿ(х) > g ⁿ(x), равносильное данному.

6. Если   f(х) > 0, g(x) > 0, то логарифмическое неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно: а) неравенству   f(х) > g(x) того же смысла, если а > 1; б) неравенству f(х) < g(x) противополож­ного смысла, если 0 < а < 1.

Некоторые равносильные переходы:

  ⟺

  ⟺

  ⟺

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

для учителя:

1. Айвазян Д.Ф. Математика. 10 – 11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс / авт.-сост. Д.Ф. Айвазян. – Волгоград: Учитель, 2009.

2. Амелькин В.В. Задачи с параметрами [Текст] / В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. – М.: Асар, 1996.

3. Башмаков М.И., Братусь Т.А. и др. Алгебра и начала анализа 10-11. Дидактические материалы. М.: Дрофа, 2003.

4. Беляев С.А. Задачи с параметрами: методическая разработка для учащихся Заочной школы «Юный математик» при ВЗМШ и МЦНМО. – М.: МЦНМО, 2009.

5. Васильева В. Уравнения и системы уравнений с парамет­ром: применение понятия «пучок прямых на плоскости» [Текст] / В. Васильева, С. Забелина // Математика. – 2002. №4. - с. 20-22.

6. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005.

7. Дорофеев В.Ю. Пособие по математике для поступающих в СПбГУЭФ. – СПб: Изд-во СПбГУЭФ, 2003.

8. Дорофеев Г.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2 [Текст] / Г. В. Дорофеев, В. В. Затакавай. – М.: Перспекти­ва, 1990.-с. 2-38.

9. Дубич С. Линейные и квадратные уравнения с параметра­ми [Текст]: 9 класс / С. Дубич // Математика. – 2001. №36. -с. 28-31.

10. Егерман Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы [Текст] / Е. Егерман // Математика. – 2003. №1 -с. 18-20.

11. Егерман Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы [Текст] / Е. Егерман // Математика. – 2003. №2. -с. 10-14.

12. Карасев В. Решение задач с параметрами [Текст] / В. Ка-расев, Г. Левшина, И. Данченков // Математика. – 2005. №4. -с. 38-44.

13. Косякова Т. Решение квадратных и дробно-рацио­нальных уравнений, содержащих параметры [Текст] / Т. Косяко­ва // Математика. – 2002. №22. -с. 15-18.

14. Косякова Т. Решение линейных уравнений и систем ли­нейных уравнений, содержащих параметры [Текст] / Т. Косяко­ва // Математика. – 2001. №38. -с. 5-9.

15. Крамор В. С. Примеры с параметрами и их решение [Текст]: пособие для поступающих в вузы / В.С. Крамор. - М.: АРКТИ, 2000.-с. 48.

16. Креславская О. Задачи с параметром в итоговом повто­рении [Текст] / О. Креславская // Математика. – 2004. №18. -с. 23-27.

17. Креславская О. Задачи с параметром в итоговом повто­рении [Текст] / О. Креславская // Математика. – 2004. №19. -с,23-27

18. Кривчикова Э. Тема «Уравнения и системы уравнений» в курсе алгебры 11 класса [Текст] / Э. Кривчикова // Математика. – 2004. №37.-с. 18-37.

19. Легошина С. Решение неравенств первой и второй сте­пени с параметрами [Текст] / С. Легошина // Математика. – 2000. №6.-с. 15-17.

20. Малинин В. Уравнение с параметрами [Текст]: графиче­ский метод решения // Математика. – 2003. №29. -с. 12-15.

21. Мордкович А.Г. Решаем уравнения. – М.: Школа-Пресс, 1995.

22. Муравин Г.К. Уравнения, неравенства и их системы [Текст]: фрагмент учебника Г.К. Муравина О.В., Муравиной Г.К. // Математика. – 2003. №4. -с. 21-27.

23. Окунев А.А. Графическое решение уравнений с парамет­рами [Текст] / А. А. Окунев. – М.: Школа-Пресс, 1986.

24. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник. – М.: Изд-во Факториал, 1997.

25. Письменский Д. Т. Математика для старшеклассников [Текст] / Д. Т. Письменский. – М.: Айрис, 1996.

26. Сканави М.И. Полный сборник задач для поступающих в ВУЗы. Группа повышенной сложности / Под редакцией  М.И. Сканави. – М.: ООО «Издательство «Мир и образование»: Мн.: ООО «Харвест», 2006. – 624 с.: ил.

27. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. Том 1 [Текст] / B. В. Ткачук. - М.: МЦНМО ТЕИС, 1996.-415 с.

28. Цыганов Ш. Десять правил расположения корней квад­ратного трехчлена [Текст] / Ш. Цыганов // Математика. – 2002. №18.-с. 19-23.

29. Цыганов Ш. Квадратные трехчлены и параметры [Текст] / Ш. Цыганов // Математика. – 1999. №5. -с. 4-9.

30. Шабунин М.И., Уравнения и системы уравнений с параметрами / Математика в школе. – 2003. №7. -с. 10-14.

31. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач [Текст]: учебное пособие для 10 класса средней школы / И. Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1989. – 252 с.

32. Шахмейстер А.Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004.

для ученика:

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2007.

3. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007.

4. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2007.

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы [Текст]: задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2006.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2006.