Понятие «уравнения с параметрами»

Линейные уравнения, их системы и неравенства с параметром

Цели: ввести алгоритм решения линейных уравнений с па­раметром; формировать умение решать линейные уравнения с параметром; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; активизировать познавательную и твор­ческую деятельность; формировать навыки решения линейных уравнений с параметром; развивать умение сравнивать и обобщать законо­мерности; развивать навыки самостоятельной работы; использовать полученные ранее знания при решении линейных уравнений с дополнительными условиями; развивать умение сравнивать и обобщать закономерности; формировать навыки исследовательской работы.

Линейным уравнением называется уравнение вида ах = b, где а, b – некоторые действительные числа, х – переменная.

В зависимости от коэффициента а, зависит и решение этого уравнения.

При а = 0, b ≠ 0 уравнение не имеет корней, так как нет та­кого числа, которое при умножении на нуль, даст результат, от­личный от нуля.

При а = 0, b = 0 уравнение имеет бесконечно много реше­ний, решением является любое действительное число.

При а ≠   0 мы можем обе части уравнения разделить на а, имеем единственный корень, равный .

Итак, получили следующую схему.

Схема 1. Решение линейных уравнений

a ≠ 0

ax = b

a = 0

b ≠0

b = 0

x – любое

неткорней

 

Итак, можно по некото­рому целесообразному признаку разбить множество всех значе­ний параметра на подмножества, а затем заданное уравнение решить на каждом из этих подмножеств. Чтобы разбить множе­ство значений параметра на подмножества, полезно воспользо­ваться контрольными или особыми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качест­венное изменение уравнения.

При решении линейных уравнений с параметрами качест­венное изменение происходит при переходе коэффициента а через нуль. То есть контрольным(и) значением(ями) будут те значения коэффициента при переменной х, при которых он обращается в нуль, так как при таких значениях невозможно деле­ние на коэффициент при х (а при иных значениях параметра та­кое деление возможно); следовательно, меняется процедура ре­шения уравнения, в этом и состоит качественное изменение уравнения.

Схема 2. Зависимость количества решений

Системы линейных уравнений от коэффициентов системы

Количество решений системы уравнений

Если , то решение единственное

Если , то решений бесконечно много

Если , то решений нет

Схема 4. Расположение параболы по отношению к оси абсцисс

Фазовая плоскость

Цель: введение понятия «пучок прямых»; понятие «фазовая плоскость», формировать умение решать задачи этой плоскости.

На плоскости Оху функция у = f(х; а) задает семейство кривых, зависящих от параметра а. Каждое семейство обладает определенными свойствами. Выбор семейства кривых в методе пучка прямых одновариантный. Это прямые, принадлежащие одному пучку у – у_о = а(х – х_о) с центром в точке А(х_о; у_о), где а – искомый параметр. Раскроем понятие пучка.

Множество прямых, проходящих через точку А(х_о; у_о), на­зывают пучком прямых, где А служит центром пучка. Каждую прямую пучка, кроме той, которая параллельна оси ординат, можно задать уравнением у – у_о = k(х – х_о), где k – угловой ко­эффициент рассматриваемой прямой. Уравнение у – у_о = k(х – х_о) есть уравнение пучка прямых, k – параметр пучка, характери­зующий направление прямой. Значение параметра k можно най­ти, если указано условие, которое определяет положение прямой на плоскости.

Понятие «уравнения с параметрами»

Цели: познакомить с понятиями параметр, задача с пара­метром; формировать осознанный подход к решению задач с параметром; развивать исследовательскую деятельность уча­щихся.

Уравнение с параметром – это, по сути дела, краткая запись бесконечного семейства уравнений. Каждое из уравнений се­мейства получается из данного уравнение с параметром при конкретном значении параметра. Поэтому задачу решения урав­нения с параметром можно сформулировать следующим обра­зом: решить уравнение с параметром f (х; а) = 0 – это решить семейство уравнений, получающихся из уравнения f (х; а) = 0 при любых действительных значениях параметра.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного се­мейства уравнений невозможно, но тем не менее каждое урав­нение из бесконечного семейства должно быть решено. Сделать это, например, можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра - множе­ство действительных чисел или множество значений, заданное в условии задачи, - на подмножества, а затем заданное уравнение решить на каждом- из этих подмножеств.

Чтобы разбить множество значений параметра на подмноже­ства, полезно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качест­венное изменение уравнения. Такие значения параметра можно назвать контрольными или особыми. Искусство решения урав­нения с параметрами как раз и состоит в том, чтобы уметь нахо­дить контрольные значения параметра.

Каковы основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения пара­метра (параметров), либо для значений параметра, принадлежа­щих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «За­дачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределя­ет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности,

для которых требуется определить количество решений в зави­симости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, нера­венства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является един­ственным разумным путем получения ответа при решении зада­чи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при ко­торых указанные уравнения, неравенства, их системы и сово­купности имеют заданное число решений (в частности, не име­ют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество ре­шений удовлетворяет заданным условиям в области определе­ния.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмно­жеством множества решений второго уравнения и т. д.

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляю­щая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах от­носится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром - задачи с од­ной неизвестной и одним параметром.

Каковы основные способы (методы) решения задач с па­раметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого пря­мого решения, повторяющего стандартные процедуры нахожде­ния ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это спо­соб силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Аналитический способ решения задач с параметром есть са­мый трудный способ, требующий высокой грамотности и наи­больших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с пере­менной х и параметром а) рассматриваются графики или в коор­динатной плоскости Оху, или в координатной плоскости Оха.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитиче­ское решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.