Решение линейных неравенств с параметрами

Цели: ввести алгоритм решения линейных неравенств с параметром; формировать умение решать линейные неравенства с параметром; развивать умение сравнивать и обобщать законо­мерности; формировать умение анализировать и проводить ана­логию; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; активизировать познавательную и творческую деятельности.

Определение. Неравенство, обе части которого являют­ся линейными функциями относительно переменной, называет­ся линейным.

В общем виде линейное неравенство записывается так: кх + l > тх + п.

Определение. Два неравенства с одной переменной на­зываются равносильными, если их решения совпадают.

При решении неравенств опираемся на следующие теоремы о равносильных преобразованиях:

- Если какой-либо член неравенства перенести из одной час­ти неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, рав­носильное данному.

- Если обе части неравенства умножить на одно и то же по­ложительное число, оставив при этом знак неравенства без из­менения, по получится неравенство, равносильное данному.

- Если обе части неравенства умножить на одно и то же от­рицательное число, изменив при этом знак неравенства на про­тивоположный, то получится неравенство, равносильное данно­му.

Обычно эти теоремы о равносильности используют в виде правил, формулировка которых более проста и понятна:

• Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком (не меняя при этом знака неравенства).

• Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знака неравенства.

• Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак нера­венства на противоположный.

Выполнив равносильные преобразования неравенства k х + l > тх + n, получаем:

(k – т)х > п – 1. Обозначив k – т = а и п – 1 = b, имеем ах > b.

Как и в линейном уравнении, опять контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при x обращает­ся в 0. Но для оценки качественного изменения неравенства сле­дует учесть, что процедура решения неравенства зависит от зна­ка коэффициента при х. Если этот коэффициент положителен, то мы используем одну теорему о равносильности неравенств, по­стулирующую сохранение знака неравенства; если этот коэффи­циент отрицателен, то мы используем другую теорему, постули­рующую изменение знака неравенства. Поэтому, осуществляя разбивку множества всех значений параметра (множества дей­ствительных чисел) на подмножества, мы будем рассматривать случаи а = 0, а > 0, а < 0.

Если , неравенство решений не имеет

Решение неравенства вида ax > b

Если a > 0, то

Если a = 0, то

Если a < 0, то

Если b < 0 решением является все множество R

Схема 3. Решение неравенства ax > b

 

 

Итак, мы рассматриваем три случая: a = 0, a > 0, a < 0.