В зависимости от ее коэффициентов и дискриминанта

	a > 0	a < 0
D > 0	xo x	x xo
D = 0	x xo	xo x
D < 0	x xo	x xo

При решении многих задач требуется знание следующих теорем и следствий.

Пусть f(х) = ах² + bx + с имеет действительные корни х₁, х₂ (которые могут быть кратными), а М, N – какие-нибудь действи­тельные числа, причем М < N. Тогда:

Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М (то есть лежали на числовой оси ле­вее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение сле­дующих условий:

или

М

у

xo

x

    

М

xo

у

x

           

Теорема 2. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, а другой больше, чем М (то есть точка М лежала бы между корнями), необходимо и дос­таточно выполнение следующих условий:

или   

Эти две системы можно заменить формулой .

М

x

у

  

у

x

М

Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М (то есть лежали на числовой оси правее, чем точка М), необходимо и дос­таточно выполнение следующих условий:

или

xo

М

у

x

  

xo

у

М

Следствие 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М, но меньше, чем число N (то есть лежали в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или

N

М

у

xo

x

x

xo

у

N

M

Следствие 2. Для того чтобы больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или   

x

у

N

M

x

у

N

M

 

Следствие 2. Для того чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между М и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или   

N

M

x

у

x

у

N

M

Следствие 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, но меньше, а другой больше, чем число N (то есть отрезок МN лежал внутри интервала между корнями), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

или   

N

M

x

у

x

у

N

M

Акцентировать внимание учащихся на том, что здесь контрольными являются: направление ветвей параболы, знаки значений f(M), f(N), расположение вершины параболы (а все остальное записывается по графической иллюстрации).

Решение неравенств методом интервалов

Цель: формировать умения решать неравенства методом интервалов; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; активизировать познавательную и твор­ческую деятельность; умение работать в паре и группе.