Принятие решений в условиях неопределенности

 

Обычно теория игр определяется как теория математических моделей выбора оптимальных решений в условиях неопределенности. При этом тип неопределенности, изучаемый в теории игр, характеризуется тем, что рассматриваются ситуации, исход в которых определяется действием нескольких сторон, каждая из которых преследует собственные цели (такие взаимодействия нескольких сторон называются играми). Несовпадение целей действующих сторон, а также определенные ограничения на обмен информацией между ними, приводят к тому, что эти взаимодействия носят конфликтный характер.

В данном разделе рассматриваются модели конфликтных ситуаций, которые принято называть играми с природой. Рассматривается некоторая система, которая управляется игроком. Система функционирует тем или иным образом в соответствии с состоянием некоторой среды – природы. Игрок, в соответствии со своими целями, воздействует на систему с помощью альтернативных управляющих воздействий – альтернатив или стратегий. Выбор одной из имеющихся в его распоряжении стратегий называют  принятием решения, а игрока – лицом, принимающим решения (ЛПР).

Состояние системы определяется двумя факторами: выбранным управляющим воздействием со стороны ЛПР и состоянием среды – природы.

Термин "природа" в теории игр понимается в широком смысле. Это могут быть действительные природные физические (климатические), биологические, химические, социальные и т.п. процессы, которые сопровождают экономическую деятельность. Под "природой" может также пониматься рынок, противостоящий предпринимателю, конкурирующая среда, монополия и т.п. "Природа" в виде природных процессов, как часть экономики, не стремиться "специально" навредить предпринимателю.  Особенностью данного рода игр является отсутствие конфликта в привычном понимании. Природа неразумна, то есть нейтральна по отношению к игроку и не стремится уменьшить его выигрыш или увеличить свой, она может лишь принимать то или иное состояние.

 Основная сложность данной задачи, носящая принципиальный характер, связана с отсутствием у игрока информации о состоянии природы.

Принципиальным является то обстоятельство, что ЛПР "не знает", в каком состоянии находится среда, то есть не имеет информации о наличном состоянии среды. Именно это обстоятельство имеют в виду, когда говорят, что принятие решения происходит в условиях неопределенности. Однако, эта неопределенность не является абсолютной, так как принимающему решение лицу известно множество состояний среды и известна функция выигрыша – оценка каждого состояния управляемой системы, в зависимости от каждого состояния природы, неким числом, выражающим «полезность» этого состояния для ЛПР.

Таким образом, задача принятия решения в условиях неопределенности формулируется следующим образом. Пусть   (i = 1, 2, 3, …, m) – множество стратегий игрока,  (j = 1, 2, 3, …, n) – множество состояний природы, совокупность чисел  – функция выигрыша игрока, то есть оценка полезности (с точки зрения ЛПР) того состояния системы, которое возникает, если игрок выбирает управляющее воздействие , а среда принимает состояние . В случае, когда множество стратегий игрока и множество состояний природы конечны, функцию выигрыша удобно задавать в виде матрицы выигрышей , которая аналогична виду платежной матрицы P в матричных играх, при этом  есть значение функции выигрыша   в ситуации, когда игрок выбирает   i – ую стратегию, а среда принимает   j – ое состояние.

В некоторых случаях значения функции выигрыша имеют характер потерь (затрат), то есть, фактически они являются не выигрышами, а проигрышами. Рассматривается матрица   – «функция проигрыша», при этом  есть значение проигрыша (затрат)   в ситуации, когда игрок выбирает   i – ую стратегию, а среда принимает   j – ое состояние.

Очевидно, ЛПР при выборе той или иной стратегии рискует. В ситуации неопределенности нужно принимать решения, руководствуясь какими либо соображениями предварительного характера.

Если матрица результатов представлена матрицей выигрышей (доходов) , тов качестве характеристики риска можно рассматривать величину «недополученного дохода». ЛПР, анализируя матрицу выигрышей , выбирает   максимальный выигрыш   при каждом состоянии природы . ( – наибольшее число в каждом   j –ом столбце). Затем составляется матрица рисков , где каждая компонента  представляет собой риск в каждой ситуации, то есть недополученный, по сравнению с самым высоким при данном состоянии природы, доход.  

Если матрица результатов представлена матрицей проигрышей (затрат) , то   ЛПР выбирает   минимальный проигрыш . Затем составляется матрица рисков , где каждая компонента определяется формулой .

Требуется указать наилучшую в некотором смысле альтернативу, или, найти оптимальную стратегию.

ЛПР должно руководствоваться какими-то соображениями при выборе стратегий, сравнивая их по «эффективности» между собой.

Самый естественный принцип сравнения альтернатив это принцип доминирования, который применяется также при решении матричных и биматричных игр, который формулируется следующим образом.

Стратегия  называется доминирующей стратегию    ( ≥ ), если при любом состоянии природы   выигрыш игрока,  при выборе им стратегии ,  будет не меньше, чем выигрыш при выборе стратегии .

Очевидно, что если ≥ , то независимо от состояния среды стратегия    является лучшей для игрока, чем  доминируемая стратегия   , поэтому стратегию    можно исключить из дальнейшего рассмотрения.  Итак, принцип доминирования состоит в том, что исключаются доминируемые стратегии.

Для того чтобы выбрать из оставшихся стратегий оптимальную, нужны какие-то дополнительные соображения.

 Основной метод, позволяющий ЛПР найти оптимальную стратегию в условиях неопределенности, состоит в том, что формулируется некоторая гипотеза о поведении среды, позволяющая дать численную оценку каждой стратегии. Оптимальной считается та стратегия, для которой численная оценка является максимальной.

Задание оценки каждой стратегии позволяет сравнить любые две стратегии: из двух стратегий лучшей считается та, которая имеет большую оценку (стратегии, имеющие одинаковую численную оценку, считаются эквивалентными). Таким образом, устанавливаются критерии для сравнения стратегий. Среди критериев выделяют классические и производные (составные). К классическим критериям, применяемым для решения игр в условиях неопределенности, относят критерии Лапласа, Вальда, Севиджа.

 

Критерий Лапласа. (Принцип недостаточного основания).

Игрок не имеет никакой информации о вероятности, с которой природа может принять то или иное состояние.

ЛПР принимает гипотезу: все состояния  – равновероятны (наступают с вероятностями ).

Если матрица результатов представлена матрицей выигрышей (доходов) , то  в качестве оценки стратегии  берется величина соответствующего ей среднего выигрыша: .  

Оптимальная по данному критерию стратегия  находится из условия: .

 

Замечание. Если матрица результатов представлена матрицей проигрышей (затрат) , то  в качестве оценки стратегии  берется величина соответствующего ей среднего выигрыша .   Оптимальная по данному критерию стратегия  находится из условия .

 

Критерий Вальда. (Принцип крайнего пессимизма).

Данный критерий, в зависимости от вида функции выигрышей, имеет форму принципа максимина или принципа минимакса.

ЛПР принимает гипотезу: при выборе той или иной стратегии надо рассчитывать на худший из возможных вариантов.

Принцип максимина. Функцией выигрыша является матрица выигрышей , где есть значения функции выигрыша   в ситуации, когда игрок выбирает i – ую стратегию, а среда принимает   j – ое состояние. В качестве оценки стратегии  берется величин: . Оптимальная по данному критерию стратегия  находится из условия:         .                                              

Принцип минимакса. Функцией выигрыша является матрица проигрышей , где есть значения функции проигрыша   в ситуации, когда игрок выбирает i – ую стратегию, а среда принимает   j – ое состояние.

  В качестве оценки стратегии  берется величина .

 Оптимальная по данному критерию стратегия  находится из условия       .                                        

Критерий Севиджа.    (Принцип минимального риска).

ЛПР анализирует матрицу рисков и принимает гипотезу о том, что складывается ситуация максимального риска (следует избегать большого риска при принятии решений). В качестве оценки стратегии  берется величина:  .Оптимальная по данному критерию стратегия  находится из условия         .

Этот критерий является мерой сожаления о незнании истинного состояния среды и рекомендует выбрать ту стратегию, которая в самой неблагоприятной ситуации сводит риск к минимуму.