Анализ доминирования платежных матриц

 

Заметим, что в общем случае биматричные игры могут иметь достаточно высокую размерность (),  но число игроков в этих играх всегда равно двум. Простейший метод анализа таких игр и способ их решения состоит в том, чтобы не использовать в решении доминируемые стратегии. Соответствующий метод называется последовательное удаление строго доминируемых стратегий и заключается в том, чтобы игроки не использовали в решении свои доминируемые, то есть «невыгодные», стратегии.

Подразумевается, что рациональные игроки, анализируя бескоалиционную игру, исключают из рассмотрения нерациональные (неэффективные) действия, а именно:

– первый игрок последовательно исключает из рассмотрения каждую строку своей платежной матрицы (строго доминируемые строки), все значения в которой меньше соответствующих элементов другой строки;

– второй игрок исключает из рассмотрения каждый столбец своей платежной матрицы (строго доминируемые столбцы), все значения в котором меньше соответствующих элементов другого столбца.

    Рассмотренную задачу можно решать и другим способом. Вначале удалить строго доминируемую стратегию у второго игрока, а затем первого. Конечный результат будет тем же.

    Замечание. Если в бескоалиционной игре последовательно удалить все строго доминируемые стратегии, то множество оставшихся ситуаций не зависит от последовательности удаления.

    Последовательное удаление строго доминируемых стратегий сокращает множество ситуаций претендующих на роль решения. Существуют такие задачи, в которых после применения этого алгоритма остается одна ситуация.

Если последовательное удаление строго доминируемых стратегий приводит платежные матрицы к виду, представленному таблицей 3.3 и таблицей 3.4, то именно эта ситуация (пара чистых стратегий ) и является решением задачи.

    Т а б л и ц а 2.3                                                                  Т а б л и ц а 2.4

             Матрица А                                           Матрица В

 

2.3. Р авновесие по Нэшу в чистых стратегиях

 

Пусть игрокам удалось выбрать какую-то ситуацию в качестве решения.

Для того, чтобы игроки не уклонились от своего выбора эта ситуация должна быть стратегически устойчивой, т.е. каждый отдельный игрок, уклоняясь от этого выбора не сможет увеличить свой выигрыш. В такой ситуации действие каждого отдельного игрока является наилучшей реакцией на выбор остальных.

Определение. Пара чистых стратегий   в биматричной игре называется равновесием по Нэшу в чистых стратегиях, если при выборе вторым игроком стратегии  для первого игрока наиболее выгодной является стратегия  и наоборот.

Это определение трактуется следующим образом: пара чистых стратегий   является равновесием по Нэшу в чистых стратегиях, если соответствующее значение  является наибольшим в j -ом столбце, а соответствующее значение   является наибольшим в i -ой строке.

Выбор равновесия по Нэшу мотивирован тем, что если в качестве решения будут предложено не равновесное решение, то найдётся игрок, который, уклонившись в одностороннем порядке от предложенной ситуации, получит больший выигрыш.

Таким образом, рациональный игрок будет придерживаться только равновесной ситуации.

Замечание. Пусть в бескоалиционной игре после применения алгоритма удаления строго доминируемых стратегий осталась одна ситуация, тогда эта ситуация является единственным равновесием по Нэшу в игре.

 

Равновесие с доминирующими стратегиями является частным случаем

равновесия по Нэшу. Следует иметь в виду, что равновесие по Нэшу не сводится к равновесию в доминирующих стратегиях, хотя если есть доминирующие стратегии, то им соответствует равновесие по Нэшу.

Зачастую у игроков отсутствуют доминирующие стратегии, однако существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях. В таких случаях весьма удобно произвести графический анализ доминирования.  

Рассмотрим биматричную игру с двумя стратегиями у каждого из игроков.  Первый игрок анализирует свои возможные результаты, при условии, что второй игрок выбрал первую стратегию, а именно, первый игрок выбирает наибольшее значение в первом столбце  и выделяет его, например, следующим образом . Затем первый игрок анализирует свои возможные результаты, при условии, что второй игрок выбрал вторую стратегию, а именно, выбирает наибольшее значение во втором столбце и также выделяет его следующим образом .

Второй игрок анализирует свои результаты при фиксированной первой стратегии первого игрока, а затем при фиксированной второй стратегии первого игрока, то есть выбирает наибольшие значения в первой и второй строках своей платежной матрицы, выделяя их, например, следующим образом   и .  Положению равновесия Нэша в платежных матрицах соответствует наличие выделенных элементов с одинаковыми индексами   и . Здесь может возникнуть, например, одна из следующих ситуаций.

Пример 1. Равновесие с доминирующей стратегий одного из игроков

           Т а б л и ц а 2.5                                               Т а б л и ц а 2.6

          Матрица А                                         Матрица В

 

 

Первая стратегия первого игрока является доминирующей, о чем свидетельствует появление двух выделенных элементов в первой строке его платежной матрицы. У второго игрока доминирующая стратегия отсутствует. Однако, в данном случае пара чистых стратегий  определяет равновесие по Нешу, так как элементы  с индексами «11» выделены одновременно и в матрице А и в матрице В.

Замечание. Равновесие Нэша – это некооперативное равновесие, которое, по сути, представляет конкурентное равновесие, являющееся результатом принятия решений игроками, не вступающими ни в какие соглашения друг с другом и имеющими цель максимизации собственного выигрыша.

Другими словами, каждый игрок заботится о минимизации последствий непредсказуемых действий конкурента.

 

Замечание. Равновесие Нэша в биматричных играх представляет собой обобщение понятия седловой точки (оптимальное решение) в играх с нулевой суммой.