Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f(x) называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

.

  Определение 2. Дисперсией непрерывной случайной величины X, математическое ожидание которой M(X)= a, а функция f(x) является её плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

Для непрерывной случайной величины среднее квадратическое отклонение определяется, как и для дискретной величины: .

Пример. Случайная величина X задана плотностью вероятности:

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X.

;

;

.

ЛЕКЦИЯ 4: «ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН»

Равномерное распределение

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, принимающей все значения из отрезка [ a; b], называется равномерным, если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю, т.е.

Так как , получаем , отсюда .

Таким образом, плотность вероятности непрерывной случайной величины X, распределённой равномерно на отрезке [ a; b], имеет вид:

Определим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины с равномерным распределением.

.

Таким образом, , как и должно, быть в силу симметрии распределения.

.

Таким образом, , тогда .

Пример. Все значения равномерно распределённой случайной величины лежат на отрезке [2;8]. Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3;5).

a=2, b=8, .

Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, причём вероятность появления события A в каждом испытании равна p и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события A в одном испытании равна p, то вероятность его ненаступления равна q=1- p.

Пусть событие A наступило в n испытаниях m раз. Это сложное событие можно записать в виде произведения:

.

Тогда вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз , вычисляется по формуле:

или

                                    (1)

Формула (1) называется формулой Бернулли.

Пример. Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырёх посеянных семян взойдут: 1) три; 2) не менее трёх.

1) m=3, n=4, p=0,9, q=1-0,9=0,1,

;

2) , ;

  P (A) =0,2916+0,6561=0,9477.

Пусть X – случайная величина, равная числу появлений события A в n испытаниях, которая принимает значения  с вероятностями:

.

Полученный закон распределения случайной величины называется законом биномиального распределения.

X	0	1		m		n
P

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайных величин, распределённых по биномиальному закону, определяются по формулам:

, , .

Пример. По мишени производятся три выстрела, причём вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти её закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

p=0,8, q=0,2, n=3, , , .

 - вероятность 0 попаданий;

 - вероятность одного попадания;

- вероятность двух попаданий;

 - вероятность трёх попаданий.

Получаем закон распределения: