Теорема сложения вероятностей совместимых событий

Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

                             (3)

Доказательство:

Используем классическое определение вероятности. Пусть в данном испытании число всех элементарных событий равно n, событию A благоприятствуют k элементарных событий, событию B – l элементарных событий, одновременно событиям A и B – m элементарных событий. Отсюда событию A+ B благоприятствуют k+ l- m элементарных событий. Тогда по определению вероятности:

;  ;   ;   .

Следовательно,

.

Теорема доказана.

Замечание. Если события A и B несовместимы, то AB - невозможное событие, отсюда . Мы получаем формулу .

Пример. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что хотя бы одно среди них окажется здоровым.

Событие A – первое растение здоровое;

событие B  – второе растение здоровое;

событие A+ B – хотя бы одно растение здоровое.

Тогда

.

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

.               (3)

Формула (3) называется формулой полной вероятности.

Доказательство: самостоятельно

Примеры.

1) Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором – три белые и одна серая, в третьем – две белые мыши и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Событие  - выбор первого ящика;

событие  - выбор второго ящика;

событие  - выбор третьего ящика;

событие A - извлечение белой мыши.

Так как все ящики одинаковы, то

; ; ; .

По формуле (3) получаем:

.

2) Для приёма зачёта преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 задач по интегральному исчислению. Для сдачи зачёта студент должен решить первую же доставшуюся ему наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачёт, если он умеет решать 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению.

Событие  - получена задача по дифференциальному исчислению;

событие  - получена задача по интегральному исчислению;

событие A – задача решена.

Тогда

; ; ; .

Применяем формулу (3):

.

Задачи

1. Участники жеребьевки достают из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлечённого жетона не содержит цифры 5.

2. В ящике 7 белых и 12 чёрных шаров. Вынули два шара. Определить вероятность того, что оба шара чёрные.

3. В группе из 30 студентов на контрольной работе получили: 6 студентов – оценку «5», 10 студентов – оценку «4», 9 студентов – оценку «3». Какова вероятность того, что все 3 студента, вызванные к доске, получили оценку «2» по контрольной работе?

4. В ящике 10 белых, 15 чёрных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый? чёрный? синий? красный? белый или чёрный? синий или красный? белый, чёрный или синий?

5. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров. Во втором ящике 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

6. В первом ящике 6 шаров: 1 белый, 2 красных и 3 синих. Во втором ящике 12 шаров: 2 белых, 6 красных и 4 синих. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих?

7. В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров. Из ящика вынули 2 шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Какова вероятность того, что оба шара белые?