Итак, частное двух рациональных чисел: положительное число, если делимое и делитель имеют одинаковые знаки; отрицательное число, если делимое и делитель имеют разные знаки.

 

    Свойства деления рациональных чисел:

1. Частное от деления нуля на не равнее нулю число равно нулю. 0: a = 0, если a ≠0

2. На нуль делить нельзя.

3. Если сумма чисел делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число. (a + b): c = a: c + b: c, где c ≠0

4. Если произведение делится на некоторое число, то хотя бы один из множителей делится на это число. (a* b): c = (a: c) * b = a * (b: c)

 

Примеры: 1) (- 4,5 + 3,9): 3 = - 4,5: 3 + 3,9: 3 = - 1,5 + 1,3 = - 0,2

             2) ((- 39) * 48): 13 = ((-39): 13) * 48 = - 3* 48 = - 144

2. Окружность. На плоскости отметим точку, обозначим её буквой О. С помощью циркуля приведём кривую замкнутую линию. Получим окружность – замкнутую кривую линию, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки – центра (точки О).

Радиус — отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром. Все радиусы данной окружности равны.

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Все диаметры окружности равны между собой. Диаметр равен сумме двух радиусов.

Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются ее хордами.

Длина окружности: С=2ПR=Пd, — радиус окружности, d — диаметр.

 

 

Билет № 21. 1. Алгебраические выражения. Значение алгебраического выражения. Подобные слагаемые. Приведение подобных слагаемых. Правило раскрытия скобок. Привести примеры. 2. Треугольник. Определение, обозначение, элементы треугольника. Виды треугольников, определяемые по углам.

1. Алгебраическое выражение – это математическая запись, составленная из цифр, букв и знаков арифметических действий.

Например: 4a + 5; 7x: 2 + 9

Буква в алгебраических выражениях обозначает какое-либо число. Поэтому она называется переменной.

Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.

 

Значение алгебраического выражения – это число, получаемое в результате выполнения всех арифметических действий, которые указаны в этом выражении. Но, чтобы его получить, буквы необходимо заменить числами.

Например, найдем значение выражения 7x: 2 + 9 при x = 4

Подставим в выражение вместо x число 4 и выполним все действия

7*4: 2 + 9 = 28: 2 + 9 = 14 + 9 = 23

 

Если произведение содержит только один числовой множитель, а остальные множители выражены буквами, то этот числовой множитель называется коэффициентом.

Например, 8x коэффициент выражения равен 8.

 

Все слагаемые выражения, содержащие одну и ту же букву, отличающиеся только коэффициентами, называются подобными слагаемыми.

Подобными слагаемыми могут являться и числа, входящие в выражение.

Используя распределительный закон умножения, можно упростить алгебраическое выражение, содержащее подобные слагаемые. Это преобразование называют приведением подобных слагаемых.

 

Например, упростить выражение: 5x +7 +11x -3 -2x= (5 + 11- 2)x + (7 – 3) =14x + 4

Правило раскрытия скобок.

5) если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки, сохранив знаки слагаемых в скобках;

6) если перед скобками стоит знак «-«, то можно  опустить скобки, меняя знаки слагаемых в скобках на противоположные.

 

Например: 5x + (4x – 3) = 5x +4x – 3= 9x – 3

                  8x – (5x – 6) = 8x – 5x + 6 = 3x + 6

2. Геометрические фигуры, которые состоят из трех точек, которые не находятся на одной прямой, называются треугольниками.

Отрезки, соединяющие точки, называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины обозначаются большими латинскими буквами, например: A, B, C.

Стороны обозначаются названиями двух точек, из которых они состоят – AB, BC, AC. Пересекаясь, стороны образуют углы. Нижняя сторона считается основанием фигуры.

Треугольники классифицируют по углам и сторонам. Каждый из видов треугольника имеет свои свойства.

Существует три вида треугольников по углам:

· остроугольные;

· прямоугольные;

· тупоугольные.

Все углы остроугольного треугольника острые, то есть градусная мера каждого составляет не более 90⁰.

Прямоугольный треугольник содержит прямой угол. Два других угла всегда будут острыми, так как иначе сумма углов треугольника превысит 180 градусов, а это невозможно. Сторона, которая, находится напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие катетами. Гипотенуза всегда больше катета.

Тупоугольный треугольник содержит тупой угол. То есть угол, величиной больше 90 градусов. Два других угла в таком треугольника будут острыми.

Углы, которые имеет одну общую сторону, называют прилежащими этой стороне. Сумма сторон треугольника называется периметром.

Свойства треугольника:

4. длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух остальных сторон;

5. высота треугольника образует прямой угол со стороной, к которой проведена;

6. площадь треугольника равна половине произведения длины высоты треугольника и длины стороны, к которой проведена высота

Свойства углов треугольника:

4. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;

5. сумма углов любого треугольника равна 180°;

6. в треугольнике не может быть больше одного прямого или одного тупого угла.

Виды треугольников по сторонам:

· равносторонние;

· равнобедренные;

· разносторонние.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы такого треугольника равны 60⁰, то есть он всегда является остроугольным.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого только две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья – основанием. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника равны и всегда являются острыми.

Разносторонним или произвольным треугольником называется треугольник, у которого все длины и все углы не равны между собой.

Если в задаче нет никаких уточнений по поводу фигуры, то принято считать, что речь идет о произвольном треугольнике.

                                        

    разносторонний треугольник               равносторонний треугольник                равнобедренный треугольник

Билет № 22. 1. Уравнение и его корни. Определение. Правило решения уравнений с одним неизвестным. Алгоритм решения задач с помощью уравнений 2. Прямая. Свойство прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости.

1. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное какой-либо буквой, называют уравнением.

Число, которое обращает уравнение в верное равенство, называют корнем уравнения.

Пример:   4x – 5 = 25 Это уравнение содержит одно неизвестное число, обозначенное буквой x. Такое равенство называют уравнением с одним неизвестным.

Уравнение может иметь один корень, не иметь корней или иметь бесконечно много корней. Например: 1) уравнение x – 10 = 5 имеет единственный корень x = 15 2)уравнение x – 4 = x – 7 не имеет корней

3) уравнение 2x +7 = 7 + 2x имеет бесконечно много корней.