Свойства параллельных прямых

1) Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

              

2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

 

 

3) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Если a || b и с || b, то a || с

 

4) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

 

 

Определение. Отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Построение параллельных прямых:

1 способ: Если к данной прямой а через 2 точки А и В провести перпендикуляры, то эти перпендикуляры будут параллельны.

2 способ: С помощью угольника и линейки.

       

 

Билет № 5 1. Среднее арифметическое нескольких чисел. Привести примеры 2. Треугольник. Определение, обозначение, элементы треугольника. Виды треугольников. Равносторонний треугольник и его свойства. Сумма углов треугольника.

Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.

Пример 1: Мы имеем два числа: 10 и 12. Найти их среднее арифметическое.

Решение

1) Определим сумму этих чисел: 10+12=22

2) Количество этих чисел равно 2, следовательно, среднее арифметическое этих чисел равно: 22:2=11

Ответ: среднее арифметическое чисел 10 и 12 – это число 11.

Пример 2

Мы имеем пять чисел: 1, 2, 3, 4 и 5. Найти их среднее арифметическое.

Решение

1) Сумма этих чисел равна: 1+2+3+4+5=15.

2) По определению среднее арифметическое – это частное от деления суммы чисел на их количество. Мы имеем пять чисел, поэтому среднее арифметическое равно: 15:5=3

Ответ: среднее арифметическое данных в условии чисел равно 3.

Кроме того, что его постоянно предлагают найти на уроках, нахождение среднего арифметического весьма полезно и в повседневной жизни. Например, предположим, что мы хотим поехать на отдых в Грецию. Для выбора подходящей одежды мы смотрим, какая температуру в этой стране в данный момент. Однако мы не узнаем общей картины погоды. Поэтому необходимо узнать температуру воздуха в Греции, например, за неделю, и найти среднее арифметическое этих температур.

 

2. Геометрические фигуры, которые состоят из трех точек, которые не находятся на одной прямой, называются треугольниками.

Отрезки, соединяющие точки, называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины обозначаются большими латинскими буквами, например: A, B, C.

Стороны обозначаются названиями двух точек, из которых они состоят – AB, BC, AC. Пересекаясь, стороны образуют углы. Нижняя сторона считается основанием фигуры.

Треугольники классифицируют по углам и сторонам. Каждый из видов треугольника имеет свои свойства.

Существует три вида треугольников по углам:

· остроугольные;

· прямоугольные;

· тупоугольные.

Все углы остроугольного треугольника острые, то есть градусная мера каждого составляет не более 90⁰.

Прямоугольный треугольник содержит прямой угол. Два других угла всегда будут острыми, так как иначе сумма углов треугольника превысит 180 градусов, а это невозможно. Сторона, которая, находится напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие катетами. Гипотенуза всегда больше катета.

Тупоугольный треугольник содержит тупой угол. То есть угол, величиной больше 90 градусов. Два других угла в таком треугольника будут острыми.

Углы, которые имеет одну общую сторону, называют прилежащими этой стороне. Сумма сторон треугольника называется периметром.

Свойства треугольника:

1. длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух остальных сторон;

2. высота треугольника образует прямой угол со стороной, к которой проведена;

3. площадь треугольника равна половине произведения длины высоты треугольника и длины стороны, к которой проведена высота

Свойства углов треугольника:

1. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;

2. сумма углов любого треугольника равна 180°;

3. в треугольнике не может быть больше одного прямого или одного тупого угла.

Виды треугольников по сторонам:

· равносторонние;

· равнобедренные;

· разносторонние.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы такого треугольника равны 60⁰, то есть он всегда является остроугольным.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого только две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья – основанием. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника равны и всегда являются острыми.

Разносторонним или произвольным треугольником называется треугольник, у которого все длины и все углы не равны между собой.

Если в задаче нет никаких уточнений по поводу фигуры, то принято считать, что речь идет о произвольном треугольнике.

                                        

    разносторонний треугольник               равносторонний треугольник                равнобедренный треугольник

 

Билет № 6 1. Конечные и бесконечные десятичные дроби. Два способа перевода обыкновенной дроби в десятичную дробь. 2. Треугольник. Определение, обозначение, элементы треугольника. Виды треугольников Равнобедренный треугольник и его свойства. Периметр треугольника.

1. Деление числителя на знаменатель у некоторых дробей продолжается бесконечно. Так как, остаток при делении бесконечно повторяется, то бесконечно повторяется и цифра в частном.

В отличие от десятичных дробей, например 0,024; 0,3125, которые называют конечными десятичными дробями, дроби 0,666…, 0,454545… и подобные им называют бесконечными десятичными периодическими дробями.

При этом повторяющуюся цифру частного (или повторяющуюся группу цифр) называют периодом бесконечной десятичной дроби.

Период записывают один раз и используя круглые скобки.

Пишут	читают
0,666…= 0,(6) 0,454545…= 0,(45) 0,2333…=0,2(3)	Ноль целых, шесть в периоде Ноль целых, сорок пять в периоде Ноль целых, две десятых и три в периоде

 

Дроби 0,(6), 0,(45), 0,2(3) - бесконечные десятичные периодические дроби.

Бесконечные десятичные периодические дроби сравнивают так же, как и конечные десятичные дроби, т.е. поразрядно (слева направо).

Например: 0,(54) >0,(53), так как при равенстве целых и десятых долей у первой дроби число сотых больше чем у второй.

 

2. У геометрической фигуры — треугольника — 3 стороны и 3 вершины. Треугольник получается, если три точки, которые не лежат на одной прямой, соединить отрезками. Сторону, которая лежит напротив угла, называют противолежащей углу, и угол называют противолежащим стороне.

Углы, которые имеет одну общую сторону, называют прилежащими этой стороне. Сумма сторон треугольника называется периметром.

Для названия треугольника используются большие латинские буквы, при этом соблюдается последовательность вершин, но начинать название можно с любой вершины.

В зависимости от величин углов треугольника выделяют:

• остроугольные треугольники (все углы острые)

• прямоугольные треугольники (один угол прямой)

• тупоугольные треугольники (один угол тупой M).

Свойства треугольника:

1. длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух остальных сторон;

2. высота треугольника образует прямой угол со стороной, к которой проведена;

3. площадь треугольника равна половине произведения длины высоты треугольника и длины стороны, к которой проведена высота

Свойства углов треугольника:

1. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;

2. сумма углов любого треугольника равна 180°;

3. в треугольнике не может быть больше одного прямого или одного тупого угла.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого 2 стороны равны. Их называют боковыми, а третью сторону – основанием треугольника.
Например на рисунке:

 

AB = BC — боковые стороны;
AC — основание равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

2. в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;

3. в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой;

4. в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Признаки равнобедренного треугольника:

1. если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

2. если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

3. если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

4. если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

 

 

Билет № 7 1. Проценты. Нахождение процентов от числа (правило). Привести примеры. 2. Прямоугольный треугольник, его элементы. Периметр и площадь прямоугольного треугольника.

 

1. Процентом называют одну сотую часть числа. 1%=1:100 или 1%=0,01

Таким образом, p%=p:100, 100%=100:100=1. Это равенство означает, что p% - это то же самое, что и дробь p/100, 

Т.е проценты можно записать дробью. Такую запись мы будем использовать в дальнейшем. 81%=81/100=0,81           2%=2/100=0,02          17%=17/100=0,17

Чтобы найти проценты от данного числа, надо:

1)записать проценты в виде дроби,