Гипербола, ее каноническое уравнение

Пусть снова имеются точки  и , , называемые фокусами.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов является постоянной величиной  (), меньшей расстояния между фокусами .

Обозначим произвольную точку гиперболы через . Согласно определению гиперболы . Так как

, ,

то уравнение гиперболы принимает вид

.                          (5.6)

Далее приведем полученное уравнение к каноническому виду. С этой целью возведем дважды обе части равенства (5.6) в квадрат.

Из определения гиперболы следует, что , поэтому

.                                                   (5.7)

Так как , то можно обозначить положительное число  через , откуда

.                                             (5.8)

Введем, как и выше, обозначение

                                           (5.9)

и возведем в квадрат обе части равенства (5.6), получим уравнение

,

Или , которое запишем таким образом:

.

После возведения в квадрат обеих частей последнего равенства получаем

,

или, после деления на (–4), .

Подставляя вместо  сумму из (5.9), приходим к равенству

,

которое можно записать следующим образом:

.

Разность  равна , значит, мы имеем .

Разделив обе части последнего равенства на , приходим к каноническому уравнению гиперболы

.                                            (5.10)

Заметим, что в определении гиперболы также фигурируют два числа a, c, а в каноническом уравнении появляется b, связанное с ними по формуле (5.8).

Найдем точки пересечения гиперболы (5.10) с осями координат: если , то приходим к невозможному равенству , если , то .

Определение. Число а называется действительной полуосью гиперболы, а число b – ее мнимой полуосью.

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Оказывается, гипербола имеет две наклонные пересекающиеся асимптоты с уравнениями , проходящими через начало координат и симметричные относительно координатных осей. Гипербола представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей, симметричную относительно координатных осей и начала координат.

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния  и действительной полуоси а, т.е. .            

Из (5.7) вытекает, что для гиперболы .

Частный случай. Если , то , и уравнение гиперболы принимает вид . 

Полученная кривая имеет асимптоты  и называется равнобочной гиперболой.

Определение. Сопряженной к гиперболе (5.10) называется гипербола, заданная уравнением .                                            (5.11)

Нетрудно убедиться в том, что у сопряженной гиперболы  – действительная полуось, а асимптоты такие же, как у данной гиперболы:

.

Сопряженная гипербола представляет собой кривую, состоящую из двух ветвей, симметричную относительно координатных осей и начала координат.

                                             Рис. 5.4