Задача нахождения условия коллинеарности двух векторов

Установить условие коллинеарности векторов  и , если , .

Так как векторы коллинеарны, то , где  − некоторое число. Согласно (3.2) − (3.5) имеем

.     (3.6)

Легко проверяется, что если координаты векторов удовлетворяют равенствам (3.6), то .

Равенства (3.6) называются условием коллинеарности двух векторов.

Задача определения расстояния между двумя точками

Пусть в пространстве  заданы своими координатами две точки  и . Построим векторы , ,  (рис. 2.16).

Рис. 2.16.

Тогда , ,

и .

Так как длина вектора  равна расстоянию между точками  и , то .                  

Заметим, что в процессе решения этой задачи установлена формула определения координат вектора, если заданы координаты его начальной и конечной точек: .                        

Скалярное произведение векторов

Пусть даны два вектора  и . В векторной алгебре рассматриваются два вида умножения векторов: скалярное, результатом которого является число, и векторное, результатом которого является вектор.

Определение. Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла  между ними (рис. 2.17). Скалярное произведение обозначается символом . Итак, .                                             

Рис. 2.17.

Так как , то ,                                      

откуда следует, что скалярное произведение векторов  и  равно модулю одного из векторов, умноженному на проекцию другого на направление первого вектора.

Свойства скалярного произведения векторов

1) ;

2) , если  или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор (справедливо и обратное утверждение);

3) ;

4)   для ;

5) .

Пусть векторы  и  заданы своими координатами:

, .

Найдем скалярное произведение . Вычислим предварительно скалярные произведения единичных векторов.

Имеем , , . Векторы , ,  взаимно перпендикулярны. Тогда, согласно свойству 2, их произведения друг на друга равны нулю.

Итак, если векторы  и  заданы своими координатами, то .                                   

Следствие 1. Если , то  или .                                        

Последнее называется условием перпендикулярности двух векторов.

Следствие 2. Так как , то .        

              

Векторное произведение двух векторов

Определение. Векторным произведением ненулевых и неколлинеарных векторов  и  называется вектор, обозначаемый символом , который определяется следующими тремя условиями:

1) модуль вектора  равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и  как на сторонах, то есть ;

2) вектор  перпендикулярен каждому из векторов  и ;

3) направлен вектор  так, что если смотреть из конца его, то кратчайший поворот от вектора  к вектору  производится против движения часовой стрелки.

Свойства векторного произведения

1. , если , или , или  и  коллинеарны.

2. Если , то

3.

4.

5.

 

Выражение векторного произведения двух векторов через